Wektory w zadaniach z geometrii analitycznej - kwadrat, romb, trójkąt równoboczny

Klasa 3 liceum i technikum

Metoda wektorowa w geometrii analitycznej polega na tym, że zamiast wyznaczać równania prostych i rozwiązywać układy równań, przechodzimy od punktu do punktu wektorami: dodajemy je, mnożymy przez liczbę i obracamy o 90°. Kwadrat, romb czy trójkąt równoboczny dają się wtedy zbudować w kilku linijkach, bo wszystkie ich własności - równe boki, kąty proste, równoległość - to proste warunki na współrzędne wektorów.

W klasie drugiej podobne zadania rozwiązywaliśmy układami równań: równanie boku, prosta prostopadła, punkt przecięcia. Ta lekcja pokazuje krótszą drogę. Korzysta z podziału odcinka i wektorów równoległych, iloczynu skalarnego i pola z wyznacznika.

Obrót wektora o 90°

Najważniejszy chwyt tej lekcji: wektor $[a, b]$ obrócony o $90^\circ$ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara to $[-b, a]$, a obrócony zgodnie z ruchem wskazówek - $[b, -a]$. Zamieniamy współrzędne miejscami i przy jednej zmieniamy znak.

Dlaczego to działa? Iloczyn skalarny $[a, b] \circ [-b, a] = -ab + ba = 0$, więc wektory są prostopadłe, a długość się nie zmienia: $\sqrt{(-b)^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$. Z dwóch wektorów prostopadłych o tej samej długości kierunek obrotu rozstrzyga znak wyznacznika: $\det([a, b], [-b, a]) = a^2 + b^2 > 0$ - obrót przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Obrót całych figur (punktów, prostych, okręgów) omawia lekcja o przekształceniach w układzie współrzędnych.

Przykład 1. Dla $\vec u = [3, 1]$: obrót przeciwny do ruchu wskazówek zegara daje $[-1, 3]$, zgodny - $[1, -3]$. Kontrola: $3 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = 0$.

Kwadrat z danego boku

Jeśli znamy bok $AB$ kwadratu $ABCD$, to pozostałe wierzchołki dostajemy, dokładając do $A$ i $B$ ten sam wektor $\vec w$ - wektor $\overrightarrow{AB}$ obrócony o $90^\circ$:

$D = A + \vec w, \qquad C = B + \vec w.$

Przykład 2. Punkty $A = (1, -1)$ i $B = (5, 0)$ są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu $ABCD$. Wyznacz pozostałe wierzchołki.

Krok 1. Wektor boku. $\overrightarrow{AB} = [4, 1]$.

Krok 2. Obrót. Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: $\vec w = [-1, 4]$.

Krok 3. Wierzchołki. $D = (1 - 1,\ -1 + 4) = (0, 3)$, $C = (5 - 1,\ 0 + 4) = (4, 4)$.

Krok 4. Drugi kwadrat. Zadanie nie mówi, po której stronie $AB$ leży kwadrat. Obrót zgodny z ruchem wskazówek, $\vec w' = [1, -4]$, daje $D' = (2, -5)$ i $C' = (6, -4)$.

Kontrola. $\overrightarrow{BC} = [-1, 4]$, $\overrightarrow{CD} = [-4, -1]$, $\overrightarrow{DA} = [1, -4]$ - wszystkie mają długość $\sqrt{17}$, a kolejne są prostopadłe. Pole każdego z kwadratów to $|AB|^2 = 17$.

Odpowiedź: $C = (4, 4)$, $D = (0, 3)$ albo $C = (6, -4)$, $D = (2, -5)$.

Kwadrat z danej przekątnej

Gdy dana jest przekątna $AC$, środek kwadratu to $S$ - środek $AC$, a drugą przekątną dostajemy, obracając wektor $\overrightarrow{SC}$ o $90^\circ$. Przekątne kwadratu są prostopadłe, równe i dzielą się na połowy.

Przykład 3. Punkty $A = (-1, -2)$ i $C = (5, 2)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$ (wierzchołki oznaczone przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Wyznacz $B$ i $D$.

Krok 1. Środek. $S = \left(\frac{-1 + 5}{2}, \frac{-2 + 2}{2}\right) = (2, 0)$, $\overrightarrow{SC} = [3, 2]$.

Krok 2. Obroty. Przy obiegu $A \to B \to C \to D$ przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wierzchołek $B$ leży „na prawo” od $\overrightarrow{AC}$, czyli $\overrightarrow{SB} = [2, -3]$ (obrót zgodny), a $\overrightarrow{SD} = [-2, 3]$.

Krok 3. Wierzchołki. $B = (2 + 2,\ 0 - 3) = (4, -3)$, $D = (2 - 2,\ 0 + 3) = (0, 3)$.

Kontrola. $\overrightarrow{AB} = [5, -1]$, $\overrightarrow{BC} = [1, 5]$: iloczyn skalarny $5 - 5 = 0$, długości $\sqrt{26}$. Pole $\frac{|AC|^2}{2} = \frac{52}{2} = 26$.

Romb z przekątnej

W rombie przekątne są prostopadłe i dzielą się na połowy, ale - inaczej niż w kwadracie - mogą mieć różne długości. Dlatego sama przekątna $AC$ nie wystarcza: potrzebny jest dodatkowy warunek (np. prosta, na której leży $B$, albo pole rombu).

Przykład 4. Punkty $A = (-2, -1)$ i $C = (4, 3)$ są przeciwległymi wierzchołkami rombu $ABCD$, a wierzchołek $B$ leży na prostej $y = -5$. Wyznacz $B$, $D$ i pole rombu.

Krok 1. Środek i kierunek drugiej przekątnej. $S = (1, 1)$, $\overrightarrow{AC} = [6, 4]$. Wektor prostopadły do $[6, 4]$ to np. $[2, -3]$, bo $6 \cdot 2 + 4 \cdot (-3) = 0$.

Krok 2. Wierzchołek $B$. $B = S + t\,[2, -3] = (1 + 2t,\ 1 - 3t)$. Warunek $1 - 3t = -5$ daje $t = 2$, więc $B = (5, -5)$.

Krok 3. Wierzchołek $D$ jest symetryczny do $B$ względem $S$: $D = S - 2\,[2, -3] = (-3, 7)$.

Krok 4. Pole. $|AC| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$, $|BD| = \sqrt{64 + 144} = 4\sqrt{13}$, więc $P = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{13} \cdot 4\sqrt{13} = 52$.

Kontrola. Wszystkie boki mają długość $\sqrt{65}$ (np. $\overrightarrow{AB} = [7, -4]$, $\overrightarrow{BC} = [-1, 8]$), ale $\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} = 7 \cdot (-1) + (-4) \cdot 8 \ne 0$ - to romb, a nie kwadrat.

Trzeci wierzchołek trójkąta równobocznego

Wierzchołek $C$ trójkąta równobocznego o boku $AB$ leży na symetralnej $AB$, w odległości równej wysokości $h = \frac{\sqrt{3}}{2}|AB|$ od środka $S$. Wektor $\vec w$ - czyli $\overrightarrow{AB}$ obrócony o $90^\circ$ - ma kierunek symetralnej i długość $|AB|$, więc

$C = S \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\,\vec w.$

Przykład 5. Wyznacz trzeci wierzchołek trójkąta równobocznego o boku $AB$, gdzie $A = (0, 1)$, $B = (4, 3)$.

Krok 1. $S = (2, 2)$, $\overrightarrow{AB} = [4, 2]$, $\vec w = [-2, 4]$.

Krok 2. $\frac{\sqrt{3}}{2}\vec w = [-\sqrt{3}, 2\sqrt{3}]$, więc

$C_1 = \left(2 - \sqrt{3},\ 2 + 2\sqrt{3}\right), \qquad C_2 = \left(2 + \sqrt{3},\ 2 - 2\sqrt{3}\right).$

Kontrola. $|AC_1|^2 = (2 - \sqrt{3})^2 + (1 + 2\sqrt{3})^2 = 7 - 4\sqrt{3} + 13 + 4\sqrt{3} = 20 = |AB|^2$. Pole: $\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 20 = 5\sqrt{3}$.

Trapez - wektory równoległe

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ wektory $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{DC}$ są równoległe i mają ten sam zwrot: $\overrightarrow{DC} = k \cdot \overrightarrow{AB}$, $k > 0$. Liczba $k$ to od razu stosunek długości podstaw.

Przykład 6. Punkty $A = (-3, -1)$, $B = (5, 1)$, $C = (4, 5)$ są wierzchołkami trapezu $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$, a $D$ leży na osi $OY$. Wyznacz $D$ i pole trapezu.

Krok 1. Kierunek podstawy. $\overrightarrow{AB} = [8, 2] = 2 \cdot [4, 1]$, więc $D = C + t\,[4, 1] = (4 + 4t,\ 5 + t)$.

Krok 2. Warunek. $4 + 4t = 0$, czyli $t = -1$ i $D = (0, 4)$. Wtedy $\overrightarrow{DC} = [4, 1] = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ - górna podstawa jest dwa razy krótsza.

Krok 3. Pole. Ze wzoru Gaussa: składniki $2$, $21$, $16$, $12$ dają sumę $51$, więc $P = 25{,}5$. Kontrola wysokością: prosta $AB$ to $x - 4y - 1 = 0$, odległość $D$ od niej wynosi $\frac{|0 - 16 - 1|}{\sqrt{17}} = \sqrt{17}$, a $\frac{1}{2}\left(2\sqrt{17} + \sqrt{17}\right) \cdot \sqrt{17} = \frac{51}{2}$.

Środek ciężkości i dowody wektorowe

Środek ciężkości $G$ trójkąta to punkt przecięcia środkowych. Wektorowo: $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$, gdzie $M$ to środek $BC$ - stąd wzór na średnią arytmetyczną współrzędnych wierzchołków.

Przykład 7. Dla $A = (-4, -3)$, $B = (5, 0)$, $C = (2, 6)$: $G = \left(\frac{-4 + 5 + 2}{3}, \frac{-3 + 0 + 6}{3}\right) = (1, 1)$. Kontrola: $M = (3{,}5;\ 3)$, $\overrightarrow{AM} = [7{,}5;\ 6]$, a $A + \frac{2}{3}\overrightarrow{AM} = (-4 + 5,\ -3 + 4) = (1, 1)$.

Dowód wektorowy: odcinek łączący środki dwóch boków. Niech $M$ i $N$ będą środkami boków $AC$ i $BC$. Wtedy $M = \frac{A + C}{2}$, $N = \frac{B + C}{2}$, więc

$\overrightarrow{MN} = N - M = \frac{B + C}{2} - \frac{A + C}{2} = \frac{1}{2}(B - A) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.$

Jedna równość wektorowa mówi od razu dwie rzeczy: odcinek $MN$ jest równoległy do $AB$ i dwa razy krótszy. W przykładzie 7: $M = (-1;\ 1{,}5)$, $N = (3{,}5;\ 3)$, $\overrightarrow{MN} = [4{,}5;\ 1{,}5] = \frac{1}{2}[9, 3]$. Ten sam pomysł prowadzi do twierdzenia, że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku - to jedno z zadań w zestawie.

Jak wybrać metodę

Równania prostych nadal są potrzebne, gdy dany warunek jest prostą (wierzchołek „leży na prostej $y = -5$”), ale i wtedy wystarcza zapis punktu jako $S + t\,\vec v$ i jedno równanie z $t$.

Typowe błędy

• Obrót bez zmiany znaku. $[a, b] \to [b, a]$ to nie obrót, tylko symetria względem prostej $y = x$. Kontrola zawsze ta sama: iloczyn skalarny wektora i obrazu ma być zerem.
• Jedno rozwiązanie zamiast dwóch. Kwadrat o danym boku i trójkąt równoboczny o danym boku mają po dwa położenia. Jedno odpada tylko wtedy, gdy treść ustala kolejność wierzchołków albo stronę prostej.
• Romb potraktowany jak kwadrat. Obrót połowy przekątnej o 90° daje kwadrat. W rombie druga przekątna ma tylko ten sam kierunek, a jej długość wynika z dodatkowego warunku.
• Zwrot w trapezie. $\overrightarrow{DC} = k\overrightarrow{AB}$ z $k > 0$ - przy $k < 0$ czworokąt $ABCD$ ma przecinające się boki i nie jest trapezem.

Najczęstsze pytania

Jak obrócić wektor o 90 stopni? Zamień współrzędne miejscami i zmień znak jednej z nich: $[a, b] \to [-b, a]$ obraca przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, $[a, b] \to [b, -a]$ - zgodnie. Na przykład $[3, 1] \to [-1, 3]$.

Jak wyznaczyć wierzchołki kwadratu, znając dwa sąsiednie wierzchołki? Oblicz $\overrightarrow{AB}$, obróć go o 90° i dodaj ten sam wektor do $A$ i do $B$: $D = A + \vec w$, $C = B + \vec w$. Obrót w drugą stronę daje drugi kwadrat po przeciwnej stronie $AB$.

Jak znaleźć pozostałe wierzchołki kwadratu z przekątnej? Wyznacz środek $S$ przekątnej $AC$, obróć $\overrightarrow{SC}$ o 90° w obie strony i dodaj otrzymane wektory do $S$. Dostajesz $B$ i $D$; pole kwadratu to $\frac{|AC|^2}{2}$.

Jak obliczyć trzeci wierzchołek trójkąta równobocznego? Wyznacz środek $S$ boku $AB$ i wektor $\vec w$ - czyli $\overrightarrow{AB}$ obrócony o 90°. Trzeci wierzchołek to $C = S \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\vec w$; dwa znaki dają dwa trójkąty po obu stronach $AB$.

Kiedy metoda wektorowa jest lepsza od układu równań? Gdy figura jest „sztywna”: kwadrat, romb, trójkąt równoboczny, równoległobok. Wtedy kolejne wierzchołki dostaje się dodawaniem wektorów. Układ równań wygrywa przy przecinaniu danych prostych i okręgów, np. gdy wierzchołki leżą na danych prostych.

Jak udowodnić wektorowo, że odcinek łączący środki boków jest równoległy do trzeciego boku? Zapisz środki jako $M = \frac{A + C}{2}$ i $N = \frac{B + C}{2}$ i odejmij: $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Wektory są proporcjonalne, więc odcinki są równoległe, a $|MN| = \frac{1}{2}|AB|$.

Przećwicz

• Wektory w zadaniach z geometrii analitycznej - zadania → - kwadrat z boku i z przekątnej, romb z warunkiem na wierzchołek, trójkąt równoboczny, prostokąt z wierzchołkiem na osi, trapez i twierdzenie Varignona z dowodem wektorowym.
• Na start: kwadrat z obrotu wektora o 90°, trójkąt równoboczny o danym boku, środki boków czworokąta.
• Dalej: przesunięcie o wektor, symetrie i obrót w układzie współrzędnych.

Podsumowanie

• Obrót o 90°: $[a, b] \to [-b, a]$ (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) albo $[b, -a]$ (zgodnie).
• Kwadrat z boku: $D = A + \vec w$, $C = B + \vec w$; z przekątnej: $S \pm$ obrócony $\overrightarrow{SC}$.
• Romb: przekątne prostopadłe i dzielące się na połowy; długość drugiej przekątnej daje dodatkowy warunek.
• Trójkąt równoboczny: $C = S \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\vec w$.
• Trapez: $\overrightarrow{DC} = k\overrightarrow{AB}$, $k > 0$ to stosunek podstaw.
• Dowód wektorowy: jedna równość $\overrightarrow{MN} = k\overrightarrow{AB}$ daje równoległość i stosunek długości.

Zobacz też

• Styczne do okręgu z punktu i wspólne styczne dwóch okręgów - poprzednia lekcja.
• Układy równań w geometrii analitycznej - te same typy zadań rozwiązywane równaniami prostych (klasa 2).
• Równoległoboki - własności równoległoboku, rombu i kwadratu, z których korzysta metoda wektorowa.
• Wektory i geometria analityczna - spis wszystkich lekcji rozdziału.