Trzeci wierzchołek trójkąta równobocznego o boku AB, A = (−1, 2), B = (3, −2) - dwa rozwiązania

Krok 1. Gdzie leży $C$. W trójkącie równobocznym $|CA| = |CB|$, więc $C$ leży na symetralnej odcinka $AB$, w odległości równej wysokości $h = \frac{\sqrt{3}}{2}|AB|$ od środka $S$ boku $AB$.

Krok 2. Środek i wektor prostopadły.

$S = \left(\frac{-1 + 3}{2},\ \frac{2 - 2}{2}\right) = (1, 0), \qquad \overrightarrow{AB} = [4, -4].$

Obrót o $90^\circ$ daje $\vec w = [4, 4]$: wektor prostopadły do $AB$ o tej samej długości $|\vec w| = |AB| = 4\sqrt{2}$.

Krok 3. Przesunięcie o wysokość. Wektor $\frac{\sqrt{3}}{2}\vec w = [2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}]$ ma długość dokładnie $h$, więc

$C_1 = S + \frac{\sqrt{3}}{2}\vec w = \left(1 + 2\sqrt{3},\ 2\sqrt{3}\right), \qquad C_2 = S - \frac{\sqrt{3}}{2}\vec w = \left(1 - 2\sqrt{3},\ -2\sqrt{3}\right).$

Krok 4. Kontrola długości. Dla $C_1$: $\overrightarrow{AC_1} = \left[2 + 2\sqrt{3},\ 2\sqrt{3} - 2\right]$ i

$|AC_1|^2 = (2 + 2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3} - 2)^2 = (16 + 8\sqrt{3}) + (16 - 8\sqrt{3}) = 32 = |AB|^2.$

Tak samo $|BC_1|^2 = (2\sqrt{3} - 2)^2 + (2\sqrt{3} + 2)^2 = 32$. Oba punkty $C_1$, $C_2$ spełniają równanie symetralnej $y = x - 1$.

Krok 5. Pole. $P = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 32 = 8\sqrt{3}$. Ten sam wynik daje wyznacznik: $\frac{1}{2}\left|\det\left([4, -4], [2 + 2\sqrt{3},\ 2\sqrt{3} - 2]\right)\right| = \frac{1}{2}\left|8\sqrt{3} - 8 + 8 + 8\sqrt{3}\right| = 8\sqrt{3}$.

Odpowiedź. $C = \left(1 + 2\sqrt{3},\ 2\sqrt{3}\right)$ lub $C = \left(1 - 2\sqrt{3},\ -2\sqrt{3}\right)$; pole trójkąta wynosi $8\sqrt{3}$.