Kwadrat ABCD o boku AB, A = (−2, 1), B = (1, −1) - wierzchołki C i D z obrotu wektora o 90°

Krok 1. Wektor boku. $\overrightarrow{AB} = [1 - (-2),\ -1 - 1] = [3, -2]$.

Krok 2. Obrót o 90°. Przy obiegu przeciwnym do ruchu wskazówek zegara kolejny bok $\overrightarrow{BC}$ to $\overrightarrow{AB}$ obrócony o $90^\circ$ w tę samą stronę:

$[a, b] \to [-b, a]: \qquad [3, -2] \to [2, 3] = \vec w.$

Krok 3. Wierzchołki. W kwadracie $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec w$:

$C = B + \vec w = (1 + 2,\ -1 + 3) = (3, 2), \qquad D = A + \vec w = (-2 + 2,\ 1 + 3) = (0, 4).$

Krok 4. Kontrola. $\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC} = 3 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 = 0$, $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{13}$, a $\overrightarrow{CD} = [-3, 2] = -\overrightarrow{AB}$ - figura jest kwadratem.

Krok 5. Pole i środek. $P = |AB|^2 = 13$. Środek kwadratu to środek przekątnej $AC$: $S = \left(\frac{-2 + 3}{2}, \frac{1 + 2}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ - ten sam co środek $BD$.

Uwaga: druga orientacja. Gdyby wierzchołki oznaczono zgodnie z ruchem wskazówek zegara, trzeba by obrócić $\overrightarrow{AB}$ w drugą stronę: $[3, -2] \to [-2, -3]$. Wtedy $C = (-1, -4)$ i $D = (-4, -2)$ - kwadrat po drugiej stronie prostej $AB$.

Odpowiedź. $C = (3, 2)$, $D = (0, 4)$, $P = 13$, środek $S = \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$.