Prostokąt ABCD: A = (−2, −1), B = (4, 2), wierzchołek D na osi OY - współrzędne C i D

Krok 1. Zmienna. Punkt na osi $OY$ to $D = (0, y)$. Wtedy

$\overrightarrow{AB} = [6, 3], \qquad \overrightarrow{AD} = [2,\ y + 1].$

Krok 2. Kąt prosty przy $A$. W prostokącie $AB \perp AD$, więc iloczyn skalarny jest zerem:

$\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} = 6 \cdot 2 + 3(y + 1) = 3y + 15 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = -5.$

Zatem $D = (0, -5)$ i $\overrightarrow{AD} = [2, -4]$.

Krok 3. Wierzchołek $C$. W prostokącie (jak w każdym równoległoboku) $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$:

$C = B + \overrightarrow{AD} = (4 + 2,\ 2 - 4) = (6, -2).$

Krok 4. Kontrola. $\overrightarrow{BC} = [2, -4]$ i $\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC} = 12 - 12 = 0$ - kąt przy $B$ też jest prosty. Przekątne są równe: $|AC| = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}$, $|BD| = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$.

Krok 5. Pole. $|AB| = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$, $|AD| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$, więc

$P = |AB| \cdot |AD| = 3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 30.$

To samo daje wyznacznik: $\left|\det([6, 3], [2, -4])\right| = |-24 - 6| = 30$.

Odpowiedź. $D = (0, -5)$, $C = (6, -2)$, $P = 30$, przekątna $\sqrt{65}$.