Romb ABCD z przekątnej AC, wierzchołek B na prostej y = −1 - wektory i pole rombu

Krok 1. Środek rombu. Przekątne rombu dzielą się na połowy: $S = \left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{-3 + 5}{2}\right) = (2, 1)$.

Krok 2. Kierunek drugiej przekątnej. Przekątne rombu są prostopadłe. $\overrightarrow{AC} = [2, 8] = 2 \cdot [1, 4]$, a wektor prostopadły do $[1, 4]$ to $[4, -1]$ (bo $1 \cdot 4 + 4 \cdot (-1) = 0$). Wierzchołek $B$ leży więc na prostej

$B = S + t\,[4, -1] = (2 + 4t,\ 1 - t).$

Krok 3. Warunek na $B$. $1 - t = -1$, czyli $t = 2$ i $B = (10, -1)$.

Krok 4. Wierzchołek $D$ jest symetryczny do $B$ względem $S$: $D = S - 2\,[4, -1] = (-6, 3)$.

Krok 5. Kontrola boków. $\overrightarrow{AB} = [9, 2]$, $\overrightarrow{BC} = [-7, 6]$, $\overrightarrow{CD} = [-9, -2]$, $\overrightarrow{DA} = [7, -6]$ - wszystkie mają długość $\sqrt{85}$. Za to $\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} = [9, 2] \circ [-7, 6] = -63 + 12 \ne 0$, więc to romb, a nie kwadrat.

Krok 6. Pole z przekątnych. $|AC| = \sqrt{4 + 64} = 2\sqrt{17}$, $|BD| = \sqrt{16^2 + 4^2} = \sqrt{272} = 4\sqrt{17}$:

$P = \frac{|AC| \cdot |BD|}{2} = \frac{2\sqrt{17} \cdot 4\sqrt{17}}{2} = 68.$

Krok 7. Wysokość. Pole rombu to też bok razy wysokość, więc

$h = \frac{P}{|AB|} = \frac{68}{\sqrt{85}} = \frac{68\sqrt{85}}{85} = \frac{4\sqrt{85}}{5}.$

Odpowiedź. $B = (10, -1)$, $D = (-6, 3)$, $P = 68$, $h = \frac{4\sqrt{85}}{5} \approx 7{,}38$.