Wierzchołki kwadratu z przekątnej AC, A = (−4, 1), C = (2, 3), i okrąg opisany na kwadracie

Krok 1. Środek kwadratu. Przekątne kwadratu dzielą się na połowy, więc środek to środek $AC$:

$S = \left(\frac{-4 + 2}{2},\ \frac{1 + 3}{2}\right) = (-1, 2), \qquad \overrightarrow{SC} = [3, 1].$

Krok 2. Druga przekątna. Przekątne kwadratu są prostopadłe i równe, więc $\overrightarrow{SB}$ i $\overrightarrow{SD}$ to $\overrightarrow{SC}$ obrócony o $90^\circ$ w obie strony. Przy obiegu $A \to B \to C \to D$ przeciwnym do ruchu wskazówek zegara punkt $B$ poprzedza $C$, więc $\overrightarrow{SB}$ to $\overrightarrow{SC}$ obrócony zgodnie z ruchem wskazówek:

$\overrightarrow{SB} = [1, -3], \qquad \overrightarrow{SD} = [-1, 3].$

Krok 3. Wierzchołki.

$B = (-1 + 1,\ 2 - 3) = (0, -1), \qquad D = (-1 - 1,\ 2 + 3) = (-2, 5).$

Krok 4. Kontrola. $\overrightarrow{AB} = [4, -2]$, $\overrightarrow{BC} = [2, 4]$: iloczyn skalarny $8 - 8 = 0$, oba wektory mają długość $\sqrt{20}$. Obieg $A \to B \to C$ skręca w lewo ($\det([4, -2], [2, 4]) = 20 > 0$) - orientacja się zgadza.

Krok 5. Pole. $|AC|^2 = 36 + 4 = 40$, więc $P = \frac{|AC|^2}{2} = 20$ (tyle samo co $|AB|^2$).

Krok 6. Okrąg opisany. Środek to $S = (-1, 2)$, promień $r = |SC| = \sqrt{10}$:

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 10.$

Wszystkie cztery wierzchołki spełniają to równanie, np. $B$: $1 + 9 = 10$.

Odpowiedź. $B = (0, -1)$, $D = (-2, 5)$, $P = 20$, okrąg opisany $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 10$.