Trapez ABCD z podstawą AB: wierzchołek D na prostej y = x + 5, stosunek podstaw i pole

Krok 1. Kierunek podstaw. $\overrightarrow{AB} = [8, 4] = 4 \cdot [2, 1]$. Podstawa $CD$ jest równoległa do $AB$, więc $D = C + t\,[2, 1] = (3 + 2t,\ 5 + t)$.

Krok 2. Warunek na $D$. Punkt leży na prostej $y = x + 5$:

$5 + t = (3 + 2t) + 5 \quad\Longrightarrow\quad t = -3, \qquad D = (3 - 6,\ 5 - 3) = (-3, 2).$

Krok 3. Stosunek podstaw. $\overrightarrow{DC} = [6, 3] = \frac{3}{4} \cdot [8, 4] = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$. Współczynnik jest dodatni, więc wektory mają ten sam zwrot i $ABCD$ jest trapezem (a nie „kokardą”); nie jest równoległobokiem, bo $\frac{3}{4} \ne 1$. Zatem $|CD| : |AB| = 3 : 4$.

Krok 4. Pole wzorem Gaussa. Składniki dla $A \to B \to C \to D \to A$:

$(-4) \cdot 2 - 4 \cdot (-2) = 0, \quad 4 \cdot 5 - 3 \cdot 2 = 14, \quad 3 \cdot 2 - (-3) \cdot 5 = 21, \quad (-3)(-2) - (-4) \cdot 2 = 14.$

$P = \frac{1}{2}(0 + 14 + 21 + 14) = 24{,}5$.

Kontrola wzorem na pole trapezu. Prosta $AB$ to $y = \frac{1}{2}x$, czyli $x - 2y = 0$. Wysokość to odległość $D$ od niej: $h = \frac{|-3 - 4|}{\sqrt{5}} = \frac{7}{\sqrt{5}}$. Podstawy: $|AB| = 4\sqrt{5}$, $|CD| = 3\sqrt{5}$, więc

$P = \frac{4\sqrt{5} + 3\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{7}{\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{7}{\sqrt{5}} = \frac{49}{2} = 24{,}5.$

Krok 5. Punkt przecięcia przekątnych. Trójkąty $ABO$ i $CDO$ (gdzie $O$ to punkt przecięcia przekątnych) są podobne w skali $\frac{|AB|}{|CD|} = \frac{4}{3}$, więc $|AO| : |OC| = 4 : 3$. Wektorowo: $O = A + \frac{4}{7}\overrightarrow{AC} = \left(-4 + \frac{4}{7} \cdot 7,\ -2 + \frac{4}{7} \cdot 7\right) = (0, 2)$, i ten punkt leży też na $BD$: $\overrightarrow{BO} = [-4, 0]$, $\overrightarrow{BD} = [-7, 0]$ - wektory równoległe.

Odpowiedź. a) $D = (-3, 2)$, $|CD| : |AB| = 3 : 4$; b) $P = 24{,}5$; c) $|AO| : |OC| = 4 : 3$, $O = (0, 2)$.