Monotoniczność ciągu - jak sprawdzić, czy ciąg jest rosnący

Klasa 3 liceum i technikum

Ciąg rosnący to ciąg, w którym każdy wyraz jest większy od poprzedniego: $a_{n+1} > a_n$ dla każdego $n \in \mathbb{N}_+$. Ciąg malejący spełnia $a_{n+1} < a_n$ dla każdego $n$. Ciąg jest monotoniczny, jeśli jest rosnący, malejący, stały, nierosnący albo niemalejący; ciąg, który raz rośnie, a raz maleje, nazywamy niemonotonicznym.

To druga lekcja rozdziału ciągi. Wcześniej poznaliśmy wzór ogólny ciągu, a tutaj uczymy się z niego odczytać, czy wyrazy rosną. Pojęcie jest to samo co monotoniczność funkcji, ale sprawdza się je prościej: wystarczy porównać dwa kolejne wyrazy.

Rodzaje monotoniczności

Ciąg rosnący jest jednocześnie niemalejący, a malejący - nierosnący. Ciąg stały jest zarazem niemalejący i nierosnący.

Metoda różnicy: znak $a_{n+1} - a_n$

To podstawowa i zawsze działająca metoda. Schemat:

1. Zapisz $a_{n+1}$ - w miejsce każdego $n$ wstaw $(n + 1)$.
2. Oblicz różnicę $a_{n+1} - a_n$ i doprowadź ją do najprostszej postaci (przy ułamkach - wspólny mianownik).
3. Ustal znak różnicy dla każdego $n \in \mathbb{N}_+$ i wyciągnij wniosek.

Przykład 1. Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n = 3n - 2$.

$a_{n+1} - a_n = 3(n + 1) - 2 - (3n - 2) = 3n + 1 - 3n + 2 = 3$

Różnica jest dodatnia dla każdego $n$.

Odpowiedź. Ciąg jest rosnący.

Przykład 2. Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n = \dfrac{2n + 1}{n + 3}$.

Krok 1. $a_{n+1} = \dfrac{2(n + 1) + 1}{(n + 1) + 3} = \dfrac{2n + 3}{n + 4}$.

Krok 2. Wspólny mianownik:

$a_{n+1} - a_n = \frac{(2n + 3)(n + 3) - (2n + 1)(n + 4)}{(n + 3)(n + 4)} = \frac{2n^2 + 9n + 9 - (2n^2 + 9n + 4)}{(n + 3)(n + 4)} = \frac{5}{(n + 3)(n + 4)}$

Krok 3. Licznik $5 > 0$, mianownik jest iloczynem liczb dodatnich, więc różnica jest dodatnia dla każdego $n \in \mathbb{N}_+$.

Odpowiedź. Ciąg jest rosnący.

Przyrost $\frac{5}{(n + 3)(n + 4)}$ maleje wraz z $n$ - stąd coraz mniejsze „schodki” na rysunku. Do tego, dlaczego wyrazy zbliżają się do $2$, wrócimy w lekcji o granicy ciągu.

Przykład 3 (ciąg niemonotoniczny). Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n = n^2 - 5n$.

$a_{n+1} - a_n = (n + 1)^2 - 5(n + 1) - n^2 + 5n = 2n + 1 - 5 = 2n - 4$

Znak różnicy zależy od $n$: dla $n = 1$ wynosi $-2$ (ciąg maleje: $a_2 < a_1$), dla $n = 2$ jest równa $0$ ($a_3 = a_2$), a dla $n \geq 3$ jest dodatnia. Wyrazy: $-4, -6, -6, -4, 0, 6, \dots$

Odpowiedź. Ciąg nie jest monotoniczny. Jest jednak rosnący od wyrazu trzeciego - takie sformułowanie też pojawia się w zadaniach.

Żeby wykazać, że ciąg nie jest monotoniczny, wystarczy pokazać trzy wyrazy, z których środkowy jest mniejszy (albo większy) od obu sąsiadów, np. $a_1 = -4 > a_2 = -6 < a_4 = -4$. Żeby wykazać, że jest rosnący, trzeba uzasadnić nierówność dla każdego $n$ - kilka policzonych wyrazów to za mało.

Metoda ilorazu dla ciągów o wyrazach dodatnich

Gdy wzór zawiera potęgi albo silnie, różnica bywa niewygodna, a iloraz się ładnie skraca. Jeśli wszystkie wyrazy są dodatnie, to $a_{n+1} > a_n$ jest równoważne $\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1$ (dzielimy nierówność przez dodatnie $a_n$).

Przykład 4. Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n = \dfrac{2^n}{n!}$, gdzie $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$.

Krok 1. Wyrazy są dodatnie, więc wolno użyć ilorazu.

Krok 2. $(n + 1)! = n! \cdot (n + 1)$, więc

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n + 1}$

Krok 3. Dla $n = 1$ iloraz wynosi $1$ (czyli $a_2 = a_1 = 2$), a dla $n \geq 2$ jest mniejszy od $1$.

Odpowiedź. Ciąg jest nierosnący (ale nie malejący, bo $a_1 = a_2$). Wyrazy: $2, 2, \frac{4}{3}, \frac{2}{3}, \dots$

Przykład 5. Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n = \dfrac{n}{2^n}$.

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n + 1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n} = \frac{n + 1}{2n}$

$\frac{n + 1}{2n} \leq 1 \iff n + 1 \leq 2n \iff n \geq 1$, z równością tylko dla $n = 1$.

Odpowiedź. Ciąg jest nierosnący: $\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{8}, \frac{1}{4}, \dots$, a od drugiego wyrazu malejący.

Uwaga: metody ilorazu nie stosujemy, gdy wyrazy mogą być ujemne. Dla ciągu $-1, -2, -4, \dots$ iloraz wynosi $2 > 1$, a ciąg maleje.

Monotoniczność ciągu z parametrem

Przykład 6. Dla jakich wartości $m$ ciąg $a_n = (m - 2)n + 3$ jest rosnący?

$a_{n+1} - a_n = (m - 2)(n + 1) + 3 - (m - 2)n - 3 = m - 2$

Różnica nie zależy od $n$. Ciąg jest rosnący, gdy $m - 2 > 0$.

Odpowiedź. $m > 2$ (dla $m = 2$ ciąg jest stały, dla $m < 2$ - malejący).

Przykład 7. Zbadaj, w zależności od $m$, monotoniczność ciągu $a_n = \dfrac{mn + 1}{n + 1}$.

$a_{n+1} - a_n = \frac{(mn + m + 1)(n + 1) - (mn + 1)(n + 2)}{(n + 1)(n + 2)}$

Licznik: $(mn^2 + 2mn + m + n + 1) - (mn^2 + 2mn + n + 2) = m - 1$. Zatem

$a_{n+1} - a_n = \frac{m - 1}{(n + 1)(n + 2)}$

Mianownik jest dodatni, więc o znaku decyduje $m - 1$.

Odpowiedź. Ciąg jest rosnący dla $m > 1$, stały dla $m = 1$ (wtedy $a_n = 1$) i malejący dla $m < 1$.

Typowe błędy

• Wniosek z kilku wyrazów. $a_1 < a_2 < a_3$ nie dowodzi, że ciąg jest rosnący - trzeba uzasadnienia dla każdego $n$.
• Iloraz przy wyrazach ujemnych. Porównanie $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ z jedynką działa tylko dla wyrazów dodatnich.
• Błąd w $a_{n+1}$. Wstawiamy $(n + 1)$ za każde $n$, także w mianowniku: dla $\frac{2n + 1}{n + 3}$ jest $\frac{2n + 3}{n + 4}$, a nie $\frac{2n + 3}{n + 3}$.
• Pomylenie „malejący” z „nierosnący”. Jeśli dwa kolejne wyrazy są równe, ciąg nie jest malejący, choć może być nierosnący.

Najczęstsze pytania

Jak sprawdzić, czy ciąg jest rosnący? Oblicz różnicę $a_{n+1} - a_n$ i pokaż, że jest dodatnia dla każdego $n \in \mathbb{N}_+$. Dla $a_n = 3n - 2$ różnica wynosi $3$, więc ciąg jest rosnący.

Jak zbadać monotoniczność ciągu? Zapisz $a_{n+1}$, oblicz różnicę $a_{n+1} - a_n$, uprość ją i ustal jej znak dla wszystkich $n$. Znak dodatni oznacza ciąg rosnący, ujemny - malejący, zero - stały, a znak zmienny - ciąg niemonotoniczny.

Kiedy ciąg jest malejący? Gdy każdy wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli $a_{n+1} - a_n < 0$ dla każdego $n$. Przykład: $a_n = 5 - 3n$, bo różnica wynosi $-3$.

Czym różni się ciąg malejący od nierosnącego? W ciągu malejącym każdy wyraz jest ostro mniejszy od poprzedniego. W nierosnącym dopuszczamy równość - kolejne wyrazy mogą być równe, np. $2, 2, \frac{4}{3}, \frac{2}{3}, \dots$

Kiedy można badać monotoniczność ilorazem? Tylko wtedy, gdy wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie. Wtedy iloraz $\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1$ oznacza ciąg rosnący, a $\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$ - malejący.

Jak wykazać, że ciąg nie jest monotoniczny? Wystarczy wskazać konkretne wyrazy, które raz rosną, a raz maleją, np. $a_1 > a_2$ i $a_2 < a_4$. Jeden kontrprzykład wystarcza.

Czy ciąg stały jest monotoniczny? Tak. Ciąg stały jest jednocześnie nierosnący i niemalejący, więc jest monotoniczny (ale nie jest ani rosnący, ani malejący).

Przećwicz

• Monotoniczność ciągu - zadania → - 7 zadań: metoda różnicy dla ciągów liniowych, kwadratowych i ułamkowych, metoda ilorazu dla potęg, ciąg z parametrem, ciąg niemonotoniczny i szukanie największego wyrazu.
• Cały zestaw: ciągi - zadania →

Podsumowanie

• Monotoniczność badamy znakiem różnicy $a_{n+1} - a_n$ dla każdego $n \in \mathbb{N}_+$.
• Różnica dodatnia - ciąg rosnący, ujemna - malejący, zero - stały; dopuszczalna równość daje ciąg niemalejący lub nierosnący.
• Dla ciągów o wyrazach dodatnich można porównać iloraz $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ z jedynką - wygodne przy potęgach i silniach.
• Monotoniczność trzeba uzasadnić dla wszystkich $n$; brak monotoniczności - jednym przykładem.
• W zadaniach z parametrem znak różnicy zależy od parametru, nie od $n$.

Zobacz też

• Ciąg liczbowy - wzór ogólny i rekurencyjny - poprzednia lekcja.
• Ciąg arytmetyczny - następna lekcja: ciąg, w którym różnica $a_{n+1} - a_n$ jest stała.
• Ciąg monotoniczny - definicje - zestawienie encyklopedyczne rodzajów monotoniczności.
• Monotoniczność funkcji - to samo pojęcie dla funkcji o argumentach rzeczywistych.
• Ciąg harmoniczny 1/n - przykład ciągu malejącego.