Równoległobok, romb, prostokąt i kwadrat - własności i warunki

Q: Ile wynosi suma kwadratów przekątnych równoległoboku?

Tyle, co suma kwadratów jego czterech boków: d_1² + d_2² = 2(a² + b²).

Klasa 3 liceum i technikum

Równoległoboki - co warto zapamiętać

W równoległoboku przeciwległe boki są równe, przeciwległe kąty są równe, a przekątne dzielią się na połowy.

$\alpha + \beta = 180^\circ \qquad P = a \cdot h_a = a b \sin\alpha \qquad d_1^2 + d_2^2 = 2\left(a^2 + b^2\right)$

$\text{romb: przekątne prostopadłe} \qquad \text{prostokąt: przekątne równe} \qquad \text{kwadrat: równe i prostopadłe}$

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Jego przeciwległe boki są równe, przeciwległe kąty są równe, a przekątne przecinają się w swoich środkach. Romb to równoległobok o równych bokach, prostokąt - równoległobok o kątach prostych, a kwadrat jest jednocześnie rombem i prostokątem.

Własności równoległoboku

W równoległoboku przeciwległe kąty są równe (α i β), α + β = 180°, a przekątne dzielą się w punkcie S na połowy.

Twierdzenie. W równoległoboku $ABCD$ : przeciwległe boki są równe, przeciwległe kąty są równe, kąty sąsiednie sumują się do $180^\circ$ , a przekątne dzielą się na połowy.

Dowód.

Przekątna $AC$ dzieli równoległobok na trójkąty $ABC$ i $CDA$ . Mają one wspólny bok $AC$ , kąty $BAC$ i $DCA$ są naprzemianległe przy równoległych $AB$ i $CD$ , a kąty $BCA$ i $DAC$ - naprzemianległe przy równoległych $BC$ i $AD$ . Z cechy kbk trójkąty są przystające.
Stąd $|AB| = |CD|$ , $|BC| = |DA|$ oraz $|\angle B| = |\angle D|$ . Tak samo przekątna $BD$ daje $|\angle A| = |\angle C|$ .
Kąty $A$ i $B$ leżą przy jednym boku i są jednostronne przy równoległych $AD$ i $BC$ , więc $\alpha + \beta = 180^\circ$ .
Niech $S$ będzie punktem przecięcia przekątnych. Trójkąty $ABS$ i $CDS$ mają $|AB| = |CD|$ i parami równe kąty naprzemianległe przy tych bokach - są przystające (kbk). Stąd $|AS| = |SC|$ i $|BS| = |SD|$ . $\blacksquare$

Punkt $S$ jest środkiem symetrii równoległoboku: obrót o $180^\circ$ wokół $S$ przenosi figurę na siebie.

Kiedy czworokąt jest równoległobokiem

Każdy z poniższych warunków wystarcza, żeby czworokąt wypukły był równoległobokiem:

obie pary boków przeciwległych są równoległe (to definicja);
obie pary boków przeciwległych mają równe długości;
jedna para boków przeciwległych jest jednocześnie równoległa i równa;
przekątne dzielą się na połowy;
obie pary kątów przeciwległych są równe.

Dowód warunku 4. Niech przekątne czworokąta $ABCD$ przecinają się w punkcie $S$ i niech $|AS| = |SC|$ , $|BS| = |SD|$ . Trójkąty $ABS$ i $CDS$ są przystające z cechy bkb (kąty przy $S$ są wierzchołkowe). Stąd $|\angle BAS| = |\angle DCS|$ , a to kąty naprzemianległe przy prostych $AB$ i $CD$ i poprzecznej $AC$ - więc $AB \parallel CD$ . Tak samo z trójkątów $BCS$ i $DAS$ wynika $BC \parallel AD$ . $\blacksquare$

Pułapka: jedna para boków równoległych i druga para boków równych nie wystarcza. Taki jest trapez równoramienny - ma równe ramiona i równoległe podstawy, a równoległobokiem nie jest.

Przykład 1. Czy czworokąt o wierzchołkach $A = (1, 1)$ , $B = (6, 2)$ , $C = (8, 6)$ , $D = (3, 5)$ jest równoległobokiem?

Sprawdzamy warunek 4 - liczymy środki przekątnych:

$\text{środek } AC = \left(\frac{1 + 8}{2}, \frac{1 + 6}{2}\right) = (4{,}5;\ 3{,}5), \qquad \text{środek } BD = \left(\frac{6 + 3}{2}, \frac{2 + 5}{2}\right) = (4{,}5;\ 3{,}5).$

Środki się pokrywają, więc przekątne dzielą się na połowy.

Odpowiedź. Tak, $ABCD$ jest równoległobokiem. (Więcej takich rachunków w lekcji odcinek w układzie współrzędnych.)

Przekątne równoległoboku

Równoległobok o bokach 6 i 4. Przekątna AC leży w trójkącie ABC naprzeciw kąta β = 180° − α, a przekątna BD - w trójkącie ABD naprzeciw kąta α.

W trójkącie $ABD$ przekątna $BD$ leży naprzeciw kąta $\alpha$ , a w trójkącie $ABC$ przekątna $AC$ - naprzeciw kąta $\beta = 180^\circ - \alpha$ . Z twierdzenia cosinusów i z tego, że $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ :

$|BD|^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha, \qquad |AC|^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha.$

Po dodaniu stronami składniki z cosinusem się znoszą:

$d_1^2 + d_2^2 = 2\left(a^2 + b^2\right).$

To tzw. prawo równoległoboku: suma kwadratów przekątnych jest równa sumie kwadratów wszystkich czterech boków.

Przykład 2. Równoległobok ma boki $6$ i $4$ , a jedna z jego przekątnych ma długość $8$ . Oblicz długość drugiej przekątnej.

$d_2^2 = 2\left(6^2 + 4^2\right) - 8^2 = 2 \cdot 52 - 64 = 40, \qquad d_2 = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}32.$

Przy okazji: z $|AC|^2 = 52 + 48\cos\alpha = 64$ wychodzi $\cos\alpha = \frac{1}{4}$ , więc kąt ostry ma około $75{,}5^\circ$ .

Odpowiedź. Druga przekątna ma długość $2\sqrt{10}$ .

Romb

Romb to równoległobok, którego wszystkie boki są równe. Oprócz własności równoległoboku ma dwie własne:

Twierdzenie. Przekątne rombu są prostopadłe i są dwusiecznymi jego kątów.

Dowód. Trójkąt $ABC$ jest równoramienny ( $|AB| = |BC|$ ), a $S$ jest środkiem jego podstawy $AC$ (przekątne równoległoboku dzielą się na połowy). Środkowa $BS$ trójkąta równoramiennego jest jednocześnie jego wysokością i dwusieczną kąta przy wierzchołku. Zatem $BD \perp AC$ i $BD$ dzieli kąt $B$ na połowy. Tak samo dla pozostałych kątów. $\blacksquare$

Działa to też w drugą stronę: równoległobok o prostopadłych przekątnych jest rombem. Wtedy prosta $BD$ jest symetralną odcinka $AC$ , więc $|BA| = |BC|$ .

Romb o boku 10. Przekątne są prostopadłe i dzielą się na połowy, więc połówki 8 i 6 tworzą z bokiem trójkąt prostokątny.

Przykład 3. Romb ma bok długości $10$ i krótszą przekątną $12$ . Oblicz drugą przekątną, pole i wysokość rombu.

Krok 1. Połowa krótszej przekątnej to $6$ . Połówki przekątnych i bok tworzą trójkąt prostokątny:

$\frac{f}{2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8, \qquad f = 16.$

Krok 2. Pole z przekątnych: $P = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96$ .

Krok 3. Wysokość. Romb jest równoległobokiem, więc $P = a \cdot h$ , czyli $h = \frac{96}{10} = 9{,}6$ .

Odpowiedź. Druga przekątna ma długość $16$ , pole wynosi $96$ , a wysokość $9{,}6$ .

Prostokąt i kwadrat

Prostokąt to równoległobok o kątach prostych. Wystarczy jeden kąt prosty - kąty sąsiednie sumują się do $180^\circ$ , a przeciwległe są równe, więc pozostałe też mają po $90^\circ$ .

Twierdzenie. Przekątne prostokąta są równe. I odwrotnie: równoległobok o równych przekątnych jest prostokątem.

Dowód. Trójkąty prostokątne $ABC$ i $BAD$ mają wspólną przyprostokątną $AB$ i równe przyprostokątne $|BC| = |AD|$ , więc są przystające (bkb) i $|AC| = |BD|$ . W drugą stronę: jeśli w równoległoboku $|AC| = |BD|$ , to trójkąty $ABC$ i $BAD$ są przystające z cechy bbb, czyli $|\angle B| = |\angle A|$ . Ponieważ $|\angle A| + |\angle B| = 180^\circ$ , każdy z tych kątów ma $90^\circ$ . $\blacksquare$

Przykład 4. Przekątne prostokąta mają długość $10$ i przecinają się pod kątem $60^\circ$ . Oblicz boki prostokąta.

Przekątne są równe i dzielą się na połowy, więc $|AS| = |BS| = 5$ . Trójkąt $ABS$ jest równoramienny z kątem $60^\circ$ przy $S$ - jest więc równoboczny: $|AB| = 5$ . Drugi bok z twierdzenia Pitagorasa:

$|BC| = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}.$

Odpowiedź. Boki prostokąta mają długości $5$ i $5\sqrt{3}$ .

Kwadrat jest jednocześnie rombem i prostokątem, więc jego przekątne są równe, prostopadłe, dzielą się na połowy i są dwusiecznymi kątów. Przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $a\sqrt{2}$ .

Przekątne czworokątów - porównanie

Przekątne	równoległobok	romb	prostokąt	kwadrat
dzielą się na połowy	tak	tak	tak	tak
są równe	nie	nie	tak	tak
są prostopadłe	nie	tak	nie	tak
są dwusiecznymi kątów	nie	tak	nie	tak

„Nie” oznacza tu „w ogólnym przypadku”: prostokąt ma prostopadłe przekątne tylko wtedy, gdy jest kwadratem, a romb ma równe przekątne tylko wtedy, gdy jest kwadratem.

Najczęstsze pytania

Czy przekątne równoległoboku są równe? Na ogół nie. Dzielą się na połowy, ale są równe tylko w prostokącie (i kwadracie).

Jak sprawdzić, czy czworokąt jest równoległobokiem? Wystarczy jeden z warunków: obie pary przeciwległych boków równe, jedna para boków równoległa i równa albo przekątne dzielące się na połowy. Przy danych współrzędnych najszybciej porównać środki przekątnych.

Czy każdy prostokąt jest równoległobokiem? Tak. Prostokąt ma dwie pary boków równoległych - to równoległobok o kątach prostych.

Czy romb jest kwadratem? Nie każdy. Romb jest kwadratem wtedy, gdy ma kąt prosty (albo równe przekątne). Za to każdy kwadrat jest rombem.

Czym różni się romb od kwadratu? Oba mają cztery równe boki, ale kwadrat ma wszystkie kąty proste, a romb - dowolne. Dlatego przekątne kwadratu są równe, a rombu zwykle nie.

Ile wynosi suma kwadratów przekątnych równoległoboku? Tyle, co suma kwadratów jego czterech boków: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$ .

Przećwicz

Równoległobok i romb → - pole z sinusa kąta, obie wysokości, przekątne rombu, prawo równoległoboku i warunki równoległoboku.
Prostokąt i kwadrat → - przekątna, boki z obwodu i stosunku, przekątna pod kątem.
Kąty w czworokątach → - kąty równoległoboku i rombu.

Wszystkie typy w jednym miejscu: czworokąty - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

Równoległobok: przeciwległe boki i kąty równe, $\alpha + \beta = 180^\circ$ , przekątne dzielą się na połowy.
Czworokąt jest równoległobokiem, gdy np. jego przekątne dzielą się na połowy albo jedna para boków jest równoległa i równa.
Prawo równoległoboku: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$ .
Romb - przekątne prostopadłe i dwusieczne kątów; prostokąt - przekątne równe; kwadrat - jedno i drugie.