Okręgi styczne zewnętrznie - punkt styczności i wspólna styczna

Krok 1. Środki i promienie.

$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 1 + 4 + 20 = 25, \qquad (x - 8)^2 + (y - 10)^2 = 64 + 100 - 64 = 100.$

Stąd $S_1 = (-1, -2)$, $r_1 = 5$ oraz $S_2 = (8, 10)$, $r_2 = 10$.

Krok 2. Odległość środków.

$d = \sqrt{(8 + 1)^2 + (10 + 2)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 = r_1 + r_2.$

Okręgi są więc styczne zewnętrznie.

Krok 3. Punkt styczności. Leży na odcinku $S_1S_2$, w odległości $r_1 = 5$ od $S_1$, czyli w $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ drogi od $S_1$ do $S_2$:

$T = S_1 + \frac{1}{3}\overrightarrow{S_1S_2} = \left(-1 + \frac{9}{3},\ -2 + \frac{12}{3}\right) = (2, 2).$

Kontrola w obu równaniach: $4 + 4 + 4 + 8 - 20 = 0$ oraz $4 + 4 - 32 - 40 + 64 = 0$.

Krok 4. Wspólna styczna przez odjęcie równań.

$(2x + 4y - 20) - (-16x - 20y + 64) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 18x + 24y - 84 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x + 4y - 14 = 0.$

Prosta przechodzi przez $T$ ($6 + 8 - 14 = 0$), a jej wektor normalny $[3, 4]$ jest równoległy do $\overrightarrow{S_1S_2} = [9, 12]$, więc jest prostopadła do promieni w punkcie $T$ - to wspólna styczna.

Uwaga: dla okręgów przecinających się odjęcie równań daje prostą wspólnej cięciwy, a dla okręgów stycznych - wspólną styczną w punkcie styczności.

Odpowiedź. Okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie $T = (2, 2)$, a wspólna styczna ma równanie $3x + 4y - 14 = 0$.