Liczba wspólnych stycznych okręgów x² + y² = 8 i (x − m)² + (y − m)² = 2 w zależności od m

Krok 1. Dane. $S_1 = (0, 0)$, $r_1 = 2\sqrt{2}$; $S_2 = (m, m)$, $r_2 = \sqrt{2}$. Odległość środków:

$d = \sqrt{m^2 + m^2} = \sqrt{2}\,|m|.$

Krok 2. Wartości graniczne. $r_1 + r_2 = 3\sqrt{2}$ oraz $r_1 - r_2 = \sqrt{2}$. Zatem:

• $d = 3\sqrt{2} \iff |m| = 3$ (styczność zewnętrzna),
• $d = \sqrt{2} \iff |m| = 1$ (styczność wewnętrzna).

Krok 3. Wszystkie przypadki.

Dla $m = 0$ okręgi są współśrodkowe o różnych promieniach - nie mają żadnej wspólnej stycznej.

Krok 4. $m = 3$ - punkt styczności. Okręgi stykają się zewnętrznie na odcinku $S_1S_2$, w odległości $r_1$ od $S_1$. Wektor $\overrightarrow{S_1S_2} = [3, 3]$ ma długość $3\sqrt{2}$, więc

$T = S_1 + \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}\,[3, 3] = (2, 2).$

Krok 5. Styczna w $T$ jest prostopadła do $S_1S_2$, czyli ma wektor normalny $[1, 1]$: $x + y + C = 0$ i $2 + 2 + C = 0$, więc $x + y - 4 = 0$. Kontrola: $d(S_1) = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$, $d(S_2) = \frac{|3 + 3 - 4|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Krok 6. $m = -1$ - styczność wewnętrzna. $S_2 = (-1, -1)$, $d = \sqrt{2}$. Punkt styczności leży na półprostej $S_1S_2$ w odległości $r_1$ od $S_1$ (mniejszy okrąg dotyka większego od środka):

$T = S_1 + \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\,[-1, -1] = (-2, -2).$

Styczna w $T$: $x + y + 4 = 0$. Kontrola: $d(S_1) = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ i $d(S_2) = \frac{|-1 - 1 + 4|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$, a $T$ leży na obu okręgach: $4 + 4 = 8$ i $1 + 1 = 2$.

Odpowiedź. a) Brak wspólnych stycznych dla $|m| < 1$; jedna dla $m = \pm 1$; dwie dla $1 < |m| < 3$; trzy dla $m = \pm 3$; cztery dla $|m| > 3$. b) Dla $m = 3$: $x + y - 4 = 0$ (punkt styczności $(2, 2)$); dla $m = -1$: $x + y + 4 = 0$ (punkt styczności $(-2, -2)$).