Długość odcinka wspólnej stycznej zewnętrznej i wewnętrznej dwóch okręgów bez wyznaczania stycznych

Krok 1. Dane okręgów. $S_1 = (-3, 1)$, $r_1 = 7$; $S_2 = (3, 9)$, $r_2 = 1$. Odległość środków:

$d = |S_1S_2| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10.$

Krok 2. Położenie. $d = 10 > r_1 + r_2 = 8$ - okręgi są rozłączne zewnętrznie, więc mają cztery wspólne styczne (dwie zewnętrzne i dwie wewnętrzne).

Krok 3. Styczna zewnętrzna. Niech styczna dotyka okręgów w punktach $A_1$ i $A_2$. Promienie $S_1A_1$ i $S_2A_2$ są prostopadłe do stycznej, więc równoległe do siebie i skierowane w tę samą stronę - czworokąt $S_1A_1A_2S_2$ jest trapezem prostokątnym. Prowadząc z $S_2$ prostą równoległą do stycznej, dostajemy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $d$ i przyprostokątnej $r_1 - r_2$. Druga przyprostokątna ma długość $|A_1A_2|$:

$|A_1A_2| = \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{100 - 36} = 8.$

Krok 4. Styczna wewnętrzna. Teraz promienie do punktów styczności $B_1$ i $B_2$ są skierowane w przeciwne strony stycznej. Przedłużając $S_1B_1$ o długość $r_2$ poza $B_1$, dostajemy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $d$ i przyprostokątnej $r_1 + r_2$:

$|B_1B_2| = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2} = \sqrt{100 - 64} = 6.$

Krok 5. Kontrola sensu wzorów. Odcinek stycznej wewnętrznej istnieje tylko dla $d > r_1 + r_2$ - zgodnie z tym, że styczne wewnętrzne mają tylko okręgi rozłączne zewnętrznie (przy $d = r_1 + r_2$ odcinek ma długość $0$: obie styczne wewnętrzne zlewają się w jedną, przez punkt styczności okręgów).

Odpowiedź. a) Cztery wspólne styczne. b) Odcinek stycznej zewnętrznej ma długość $8$, a stycznej wewnętrznej - $6$.