Okrąg przechodzący przez A = (1, 0) i B = (7, 0), styczny do prostej 3x + 4y + 3 = 0 - dwa rozwiązania

Krok 1. Gdzie leży środek. Środek $S$ jest równo oddalony od $A$ i $B$, więc leży na symetralnej odcinka $AB$. Odcinek jest poziomy, jego środek to $(4, 0)$, więc symetralna to prosta $x = 4$ i $S = (4, q)$.

Krok 2. Promień z punktu $A$. $r^2 = |SA|^2 = (4 - 1)^2 + q^2 = 9 + q^2$.

Krok 3. Warunek styczności $d(S, k) = r$.

$\frac{|3 \cdot 4 + 4q + 3|}{\sqrt{9 + 16}} = \sqrt{9 + q^2} \quad\Longrightarrow\quad (15 + 4q)^2 = 25(9 + q^2).$

Krok 4. Równanie na $q$. $225 + 120q + 16q^2 = 225 + 25q^2$, czyli $9q^2 - 120q = 0$, skąd $3q(3q - 40) = 0$:

$q = 0 \qquad\text{albo}\qquad q = \frac{40}{3}.$

Krok 5. Pierwszy okrąg. $S_1 = (4, 0)$, $r_1 = 3$: $(x - 4)^2 + y^2 = 9$. Kontrola: $d(S_1, k) = \frac{|12 + 3|}{5} = 3$. Punkt styczności to rzut $S_1$ na $k$. Rzut punktu $(x_0, y_0)$ na prostą $Ax + By + C = 0$ otrzymujemy, przesuwając punkt wzdłuż wektora normalnego $[A, B]$: $T = (x_0, y_0) - \frac{Ax_0 + By_0 + C}{A^2 + B^2}[A, B]$. Tu $3 \cdot 4 + 0 + 3 = 15$:

$T_1 = (4, 0) - \frac{15}{25}[3, 4] = \left(4 - \frac{9}{5},\ -\frac{12}{5}\right) = \left(\frac{11}{5}, -\frac{12}{5}\right).$

Krok 6. Drugi okrąg. $S_2 = \left(4, \frac{40}{3}\right)$, $r_2^2 = 9 + \frac{1600}{9} = \frac{1681}{9}$, więc $r_2 = \frac{41}{3}$. Kontrola: $d(S_2, k) = \frac{\left|12 + \frac{160}{3} + 3\right|}{5} = \frac{205}{15} = \frac{41}{3}$. Punkt styczności liczymy tak samo jak w kroku 5: $3x + 4y + 3$ ma w $S_2$ wartość $\frac{205}{3}$, więc

$T_2 = S_2 - \frac{205}{3 \cdot 25}[3, 4] = \left(4 - \frac{41}{5},\ \frac{40}{3} - \frac{164}{15}\right) = \left(-\frac{21}{5}, \frac{12}{5}\right).$

Kontrola, że $T_2$ leży na $k$: $3 \cdot \left(-\frac{21}{5}\right) + 4 \cdot \frac{12}{5} + 3 = \frac{-63 + 48 + 15}{5} = 0$.

Odpowiedź. Są dwa takie okręgi: $(x - 4)^2 + y^2 = 9$ (styczny w punkcie $\left(\frac{11}{5}, -\frac{12}{5}\right)$) oraz $(x - 4)^2 + \left(y - \frac{40}{3}\right)^2 = \frac{1681}{9}$ (styczny w punkcie $\left(-\frac{21}{5}, \frac{12}{5}\right)$).