Punkty przecięcia prostej i okręgu oraz długość cięciwy

Szkoła średnia średnie

Wyznacz punkty wspólne okręgu $x^2 + y^2 = 25$ i prostej $x - y + 1 = 0$ , a następnie oblicz długość cięciwy, którą ta prosta wycina z okręgu.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Wyznaczamy $y$ z równania prostej. $y = x + 1$ .

Krok 2. Podstawiamy do równania okręgu.

$x^2 + (x + 1)^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 + 2x + 1 = 25 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + x - 12 = 0.$

Krok 3. Rozwiązujemy równanie kwadratowe. $\Delta = 1 + 48 = 49$ , $\sqrt{\Delta} = 7$ :

$x_1 = \frac{-1 - 7}{2} = -4, \qquad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3.$

Dwa rozwiązania - prosta jest sieczną.

Krok 4. Obliczamy $y$ . Dla $x = -4$ : $y = -3$ ; dla $x = 3$ : $y = 4$ . Punkty wspólne to $(-4, -3)$ i $(3, 4)$ . Kontrola: $16 + 9 = 25$ oraz $9 + 16 = 25$ .

Prosta y = x + 1 przecina okrąg x² + y² = 25 w dwóch punktach.

Krok 5. Długość cięciwy.

$\sqrt{(3 - (-4))^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{49 + 49} = 7\sqrt{2}.$

Odpowiedź. Punkty wspólne: $(-4, -3)$ i $(3, 4)$ ; długość cięciwy $7\sqrt{2} \approx 9{,}90$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →