Równanie stycznej do okręgu w danym punkcie

Krok 1. Sprawdzamy, że $P$ leży na okręgu. $(2 + 1)^2 + (6 - 2)^2 = 9 + 16 = 25$.

Krok 2. Kluczowa własność. Styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. Środek to $S = (-1, 2)$, więc

$\overrightarrow{SP} = [2 - (-1), 6 - 2] = [3, 4].$

Krok 3. Równanie prostej prostopadłej do $[3, 4]$. Wektor $[3, 4]$ jest wektorem normalnym stycznej, więc styczna ma postać $3x + 4y + C = 0$. Podstawiamy $P$:

$3 \cdot 2 + 4 \cdot 6 + C = 0 \quad\Longrightarrow\quad C = -30.$

Krok 4. Kontrola odległością. Odległość środka $S = (-1, 2)$ od prostej $3x + 4y - 30 = 0$:

$d = \frac{|-3 + 8 - 30|}{5} = \frac{25}{5} = 5 = r.$

Ten sam wynik daje wzór $(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$: $3(x + 1) + 4(y - 2) = 25$.

Odpowiedź. $3x + 4y - 30 = 0$, czyli $y = -\frac{3}{4}x + 7{,}5$.