Styczne do okręgu równoległe do danej prostej

Krok 1. Postać szukanych prostych. Proste równoległe do $y = 2x$ mają ten sam współczynnik kierunkowy: $y = 2x + c$, czyli $2x - y + c = 0$.

Krok 2. Dane okręgu. $S = (2, 1)$, $r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

Krok 3. Warunek styczności $d = r$.

$\frac{|2 \cdot 2 - 1 + c|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = 2\sqrt{5} \quad\Longrightarrow\quad \frac{|3 + c|}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \quad\Longrightarrow\quad |3 + c| = 10.$

Krok 4. Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną.

$3 + c = 10 \quad\Longrightarrow\quad c = 7, \qquad 3 + c = -10 \quad\Longrightarrow\quad c = -13.$

Są dwie takie styczne - po obu stronach okręgu, symetrycznie względem środka.

Krok 5. Kontrola. Dla $c = 7$ podstawiamy $y = 2x + 7$ do równania okręgu: $(x - 2)^2 + (2x + 6)^2 = 20$, czyli $5x^2 + 20x + 20 = 0$, $x^2 + 4x + 4 = 0$ - pierwiastek podwójny $x = -2$, punkt styczności $(-2, 3)$. Dla $c = -13$ analogicznie wychodzi punkt $(6, -1)$.

Odpowiedź. $y = 2x + 7$ oraz $y = 2x - 13$.