Wzajemne położenie prostej i okręgu - odległość środka od prostej

Szkoła średnia łatwe

Dany jest okrąg $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$ . Określ wzajemne położenie tego okręgu i każdej z prostych:

a) $k\colon 4x + 3y + 12 = 0$ ,

b) $l\colon 4x + 3y - 13 = 0$ ,

c) $m\colon 4x + 3y + 18 = 0$ .

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Środek, promień i zasada. $S = (1, -2)$ , $r = 3$ . Liczymy odległość $d$ środka od prostej i porównujemy z promieniem: $d < r$ - sieczna (dwa punkty wspólne), $d = r$ - styczna (jeden punkt), $d > r$ - prosta rozłączna z okręgiem.

Krok 2. Wspólny mianownik. Wszystkie trzy proste mają $A = 4$ , $B = 3$ , więc $\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ , a $4 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) = -2$ .

Krok 3. Prosta $k$ . $d = \frac{|-2 + 12|}{5} = \frac{10}{5} = 2 < 3$ - sieczna.

Krok 4. Prosta $l$ . $d = \frac{|-2 - 13|}{5} = \frac{15}{5} = 3 = r$ - styczna.

Krok 5. Prosta $m$ . $d = \frac{|-2 + 18|}{5} = \frac{16}{5} = 3{,}2 > 3$ - prosta rozłączna z okręgiem.

Odpowiedź. $k$ - sieczna, $l$ - styczna, $m$ - nie ma punktów wspólnych z okręgiem.

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →