Długość cięciwy okręgu wyciętej przez prostą - bez punktów przecięcia

Krok 1. Dane okręgu. $S = (3, 1)$, $r = 5$.

Krok 2. Odległość środka od prostej.

$d = \frac{|3 \cdot 3 - 4 \cdot 1 + 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{15}{5} = 3.$

$d < r$, więc prosta rzeczywiście jest sieczną.

Krok 3. Trójkąt prostokątny. Odcinek prostopadły ze środka na cięciwę dzieli ją na połowy. Powstaje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $r = 5$, przyprostokątnej $d = 3$ i drugiej przyprostokątnej równej połowie cięciwy:

$\frac{c}{2} = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{25 - 9} = 4.$

Krok 4. Cięciwa. $c = 2 \cdot 4 = 8$.

Kontrola rachunkiem. Podstawienie $y = \frac{3x + 10}{4}$ do równania okręgu prowadzi do równania $x^2 - 2{,}4x - 8{,}8 = 0$ z pierwiastkami $x = 4{,}4$ i $x = -2$; różnica odciętych $6{,}4$ razy $\frac{5}{4}$ (długość odcinka prostej o współczynniku $\frac{3}{4}$ na jednostkę $x$) daje właśnie $8$.

Odpowiedź. Cięciwa ma długość $8$.