Długość odcinka stycznej poprowadzonej z punktu do okręgu

Krok 1. Środek i promień. Uzupełniamy do kwadratów:

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 23 + 4 + 9 = 36.$

Środek $S = (2, -3)$, promień $r = 6$.

Krok 2. Odległość $P$ od środka.

$|SP| = \sqrt{(8 - 2)^2 + (5 + 3)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10.$

$|SP| > r$, więc punkt leży na zewnątrz okręgu i styczną da się poprowadzić.

Krok 3. Trójkąt prostokątny. Promień do punktu styczności $T$ jest prostopadły do stycznej, więc trójkąt $STP$ jest prostokątny z kątem prostym przy $T$:

$|PT| = \sqrt{|SP|^2 - r^2} = \sqrt{100 - 36} = 8.$

Z punktu $P$ wychodzą dwie styczne i obie mają tę samą długość.

Odpowiedź. Odcinek stycznej ma długość $8$.