Prosta i okrąg z parametrem - kiedy prosta jest styczna

Krok 1. Dane okręgu. Środek $S = (0, 0)$, promień $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Krok 2. Odległość środka od prostej. W postaci ogólnej prosta to $x - y + m = 0$, więc

$d = \frac{|0 - 0 + m|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|m|}{\sqrt{2}}.$

Krok 3. Warunek styczności $d = r$.

$\frac{|m|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \quad\Longrightarrow\quad |m| = 4 \quad\Longrightarrow\quad m = -4 \ \text{lub} \ m = 4.$

Krok 4. Dwa punkty wspólne, $d < r$. $|m| < 4$, czyli $m \in (-4, 4)$.

Krok 5. Kontrola drugim sposobem. Podstawiamy $y = x + m$ do równania okręgu: $x^2 + (x + m)^2 = 8$, czyli $2x^2 + 2mx + m^2 - 8 = 0$. Wyróżnik

$\Delta = 4m^2 - 8(m^2 - 8) = 64 - 4m^2$

jest zerem dla $m = \pm 4$ (jeden punkt wspólny) i dodatni dla $|m| < 4$ - te same wyniki.

Odpowiedź. Prosta jest styczna dla $m = -4$ lub $m = 4$; dwa punkty wspólne ma dla $m \in (-4, 4)$.