Styczne do okręgu z punktu P = (0, 3) - pułapka z prostą pionową

Krok 1. Środek i promień. $(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 + 1 = 0$, czyli $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4$. Zatem $S = (2, -1)$, $r = 2$, a $|PS| = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5} > 2$ - punkt leży na zewnątrz, styczne będą dwie.

Krok 2. Proste przez $P$ o współczynniku kierunkowym $a$. $y = ax + 3$, czyli $ax - y + 3 = 0$.

Krok 3. Warunek $d(S, k) = r$.

$\frac{|2a + 1 + 3|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 2 \quad\Longrightarrow\quad (2a + 4)^2 = 4(a^2 + 1) \quad\Longrightarrow\quad 4a^2 + 16a + 16 = 4a^2 + 4.$

Wyrazy z $a^2$ się redukują: $16a = -12$, czyli $a = -\frac{3}{4}$. Tylko jedno rozwiązanie - sygnał, że druga styczna nie ma współczynnika kierunkowego.

Krok 4. Prosta pionowa przez $P$ to $x = 0$ (oś $OY$). Jej odległość od $S = (2, -1)$ wynosi $|2| = 2 = r$ - jest styczna.

Krok 5. Równania stycznych. $x = 0$ oraz $y = -\frac{3}{4}x + 3$, czyli $3x + 4y - 12 = 0$. Kontrola drugiej: $\frac{|6 - 4 - 12|}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

Krok 6. Punkty styczności. Dla $x = 0$ rzut środka to $T_1 = (0, -1)$. Dla $3x + 4y - 12 = 0$ prostopadła przez $S$: $y + 1 = \frac{4}{3}(x - 2)$. Podstawiamy $y = \frac{4}{3}x - \frac{11}{3}$:

$3x + \frac{16}{3}x - \frac{44}{3} - 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{25}{3}x = \frac{80}{3} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{16}{5}, \quad y = \frac{3}{5}.$

Zatem $T_2 = \left(\frac{16}{5}, \frac{3}{5}\right)$. Kontrola: $\left(\frac{6}{5}\right)^2 + \left(\frac{8}{5}\right)^2 = \frac{100}{25} = 4$.

Krok 7. Długość odcinków stycznych. $|PT| = \sqrt{|PS|^2 - r^2} = \sqrt{20 - 4} = 4$. Dla stycznej pionowej widać to od razu: $|PT_1| = 3 - (-1) = 4$.

Krok 8. Kąt między stycznymi. Wektory normalne $[1, 0]$ i $[3, 4]$:

$\cos\varphi = \frac{|1 \cdot 3 + 0 \cdot 4|}{1 \cdot 5} = \frac{3}{5}, \qquad \varphi \approx 53{,}13^\circ.$

Zgadza się z $\sin\frac{\varphi}{2} = \frac{r}{|PS|} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Odpowiedź. Styczne: $x = 0$ (punkt styczności $(0, -1)$) i $3x + 4y - 12 = 0$ (punkt styczności $\left(\frac{16}{5}, \frac{3}{5}\right)$). Odcinki stycznych mają długość $4$, kąt między stycznymi $\varphi$ spełnia $\cos\varphi = \frac{3}{5}$, $\varphi \approx 53{,}13^\circ$.