Styczne do okręgu przechodzące przez punkt P = (3, 4) - punkty styczności i kwadrat

Krok 1. Środek i promień. Dopełniamy do kwadratów: $(x + 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 - 5 = 0$, czyli $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 10$. Zatem $S = (-1, 2)$, $r = \sqrt{10}$. Punkt $P$ leży na zewnątrz okręgu, bo $|PS| = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} > \sqrt{10}$ - będą dwie styczne.

Krok 2. Prosta przez $P$ z parametrem. $y - 4 = a(x - 3)$, czyli $ax - y + 4 - 3a = 0$. Prosta pionowa $x = 3$ jest odległa od $S$ o $|3 - (-1)| = 4 \ne \sqrt{10}$, więc nie jest styczną.

Krok 3. Warunek styczności $d(S, k) = r$.

$\frac{|-a - 2 + 4 - 3a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{10} \quad\Longrightarrow\quad (2 - 4a)^2 = 10(a^2 + 1) \quad\Longrightarrow\quad 6a^2 - 16a - 6 = 0.$

Po podzieleniu przez $2$: $3a^2 - 8a - 3 = 0$, $\Delta = 64 + 36 = 100$, więc $a = \frac{8 + 10}{6} = 3$ albo $a = \frac{8 - 10}{6} = -\frac{1}{3}$.

Krok 4. Równania stycznych. Dla $a = 3$: $y = 3x - 5$. Dla $a = -\frac{1}{3}$: $y = -\frac{1}{3}x + 5$, czyli $x + 3y - 15 = 0$.

Krok 5. Punkty styczności - rzuty środka na styczne. Prostopadła do $y = 3x - 5$ przez $S$: $y - 2 = -\frac{1}{3}(x + 1)$. Przyrównujemy: $3x - 5 = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$, czyli $\frac{10}{3}x = \frac{20}{3}$, $x = 2$, $T_1 = (2, 1)$. Prostopadła do $x + 3y - 15 = 0$ przez $S$ to $y - 2 = 3(x + 1)$, czyli $y = 3x + 5$; podstawiamy: $x + 9x + 15 - 15 = 0$, więc $x = 0$ i $T_2 = (0, 5)$.

Kontrola: $(2 + 1)^2 + (1 - 2)^2 = 10$ i $(0 + 1)^2 + (5 - 2)^2 = 10$.

Krok 6. Kąt między stycznymi. Współczynniki $3$ i $-\frac{1}{3}$ dają iloczyn $-1$ - styczne są prostopadłe, kąt wynosi $90^\circ$. To samo ze wzoru $\sin\frac{\varphi}{2} = \frac{r}{|PS|} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{20}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, czyli $\frac{\varphi}{2} = 45^\circ$.

Krok 7. Czworokąt $PT_1ST_2$. Kąty przy $T_1$ i $T_2$ są proste (promień prostopadły do stycznej), kąt przy $P$ też, więc to prostokąt. Do tego $|ST_1| = |ST_2| = \sqrt{10}$ - jest to kwadrat o boku $\sqrt{10}$. Kontrola: $|PT_1| = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Odpowiedź. a) $y = 3x - 5$ oraz $y = -\frac{1}{3}x + 5$. b) $T_1 = (2, 1)$, $T_2 = (0, 5)$, styczne są prostopadłe (kąt $90^\circ$). c) $PT_1ST_2$ jest kwadratem o polu $10$.