Okrąg wpisany w trójkąt o bokach x + 2 = 0, y − 3 = 0, 3x − 4y − 6 = 0 - środek i promień

Krok 1. Wierzchołki. Przecinamy proste parami:

• $x = -2$ i $y = 3$: $C = (-2, 3)$;
• $x = -2$ i $3x - 4y - 6 = 0$: $-6 - 4y - 6 = 0$, $y = -3$, czyli $A = (-2, -3)$;
• $y = 3$ i $3x - 4y - 6 = 0$: $3x = 18$, $x = 6$, czyli $B = (6, 3)$.

Boki $AC$ (pionowy) i $BC$ (poziomy) są prostopadłe - kąt prosty przy $C$.

Krok 2. Dwusieczna kąta $C$. Wnętrze trójkąta leży na prawo od $x = -2$ i poniżej $y = 3$. Punkty wnętrza kąta $C$ spełniają więc $x + 2 > 0$ i $3 - y > 0$, a równość odległości to $x + 2 = 3 - y$, czyli $x + y - 1 = 0$.

Krok 3. Dwusieczna kąta $A$ (boki $x + 2 = 0$ i $3x - 4y - 6 = 0$). Znaki: w punkcie $B$ wyrażenie $x + 2$ ma wartość $8 > 0$, a w punkcie $C$ wyrażenie $3x - 4y - 6$ ma wartość $-6 - 12 - 6 = -24 < 0$. Zatem

$x + 2 = \frac{-(3x - 4y - 6)}{5} \;\Longrightarrow\; 5x + 10 = -3x + 4y + 6 \;\Longrightarrow\; 2x - y + 1 = 0.$

Krok 4. Środek. Z układu $x + y - 1 = 0$ i $2x - y + 1 = 0$: dodając stronami, $3x = 0$, więc $x = 0$, $y = 1$ - $I = (0, 1)$.

Krok 5. Promień. $r = d(I, AC) = |0 + 2| = 2$. Kontrola od pozostałych boków: $|1 - 3| = 2$ oraz $\frac{|0 - 4 - 6|}{5} = 2$.

Krok 6. Dwie kontrole wzorami. Boki: $a = |BC| = 8$, $b = |CA| = 6$, $c = |AB| = 10$. W trójkącie prostokątnym $r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{8 + 6 - 10}{2} = 2$. Ze wzoru wagowego:

$I = \left( \frac{8 \cdot (-2) + 6 \cdot 6 + 10 \cdot (-2)}{24},\ \frac{8 \cdot (-3) + 6 \cdot 3 + 10 \cdot 3}{24} \right) = \left( 0,\ \frac{24}{24} \right) = (0, 1).$

Odpowiedź. $x^2 + (y - 1)^2 = 4$.