Skala jednokładności z punktu i jego obrazu - S = (−1, 1), A = (1, 2), A′ = (5, 4)

Krok 1. Skala z wektorów. $\overrightarrow{SA} = [2, 1]$ i $\overrightarrow{SA'} = [6, 3]$. Z definicji $\overrightarrow{SA'} = k \cdot \overrightarrow{SA}$, czyli $[6, 3] = k \cdot [2, 1]$ - obie współrzędne dają to samo $k$:

$k = \frac{6}{2} = \frac{3}{1} = 3.$

Krok 2. Obraz punktu $B$. $\overrightarrow{SB} = [-3 - (-1),\ 0 - 1] = [-2, -1]$, $3 \cdot [-2, -1] = [-6, -3]$:

$B' = (-1 - 6,\ 1 - 3) = (-7, -2).$

Krok 3. Długości. $|AB| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$, $|A'B'| = \sqrt{(-12)^2 + (-6)^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} = 3 \cdot 2\sqrt{5}$ - zgadza się.

Krok 4. Punkt $D$ i $C$. $\overrightarrow{SD} = [3, 2]$, $\overrightarrow{SC} = [4, 4]$. Gdyby $[4, 4] = k \cdot [3, 2]$, to z pierwszej współrzędnej $k = \frac{4}{3}$, a z drugiej $k = 2$ - sprzeczność. Wektory nie są równoległe ($3 \cdot 4 - 2 \cdot 4 = 4 \ne 0$), więc punkty $S$, $D$, $C$ nie leżą na jednej prostej.

Odpowiedź. a) $k = 3$. b) $B' = (-7, -2)$, $|A'B'| = 6\sqrt{5} = 3|AB|$. c) Nie - punkt i jego obraz w jednokładności zawsze leżą na jednej prostej ze środkiem, a $S$, $D$, $C$ nie są współliniowe.