Środek i skala jednokładności z dwóch par punktów - skala ujemna k = −2

Szkoła średnia średnie

Jednokładność przeprowadza punkt $A = (2, 0)$ na punkt $A' = (-1, 3)$ , a punkt $B = (3, 2)$ na punkt $B' = (-3, -1)$ . Wyznacz skalę i środek tej jednokładności.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Skala z wektorów. Jednokładność mnoży każdy wektor przez $k$ , więc $\overrightarrow{A'B'} = k \cdot \overrightarrow{AB}$ :

$\overrightarrow{AB} = [1, 2], \qquad \overrightarrow{A'B'} = [-3 - (-1),\ -1 - 3] = [-2, -4] = -2 \cdot [1, 2].$

Zatem $k = -2$ .

Krok 2. Środek ze wzoru. Z równania $A' - S = k(A - S)$ dostajemy $S(k - 1) = kA - A'$ , czyli

$S = \frac{kA - A'}{k - 1} = \frac{-2 \cdot (2, 0) - (-1, 3)}{-3} = \frac{(-3, -3)}{-3} = (1, 1).$

Krok 3. Kontrola drugą parą. $\overrightarrow{SB} = [2, 1]$ , $-2 \cdot [2, 1] = [-4, -2]$ , $S + [-4, -2] = (-3, -1) = B'$ - zgadza się.

Krok 4. Interpretacja geometryczna. Środek jednokładności leży na każdej prostej łączącej punkt z jego obrazem. Prosta $AA'$ przechodzi przez $(2, 0)$ i $(-1, 3)$ : $x + y = 2$ . Prosta $BB'$ przez $(3, 2)$ i $(-3, -1)$ : $x - 2y + 1 = 0$ . Rozwiązanie układu: $y = 1$ , $x = 1$ - ten sam punkt $S = (1, 1)$ .

Proste AA′ i BB′ przecinają się w środku jednokładności S = (1, 1). Odcinek A′B′ jest równoległy do AB, dwa razy dłuższy i zwrócony przeciwnie - skala k = −2.

Odpowiedź. Skala $k = -2$ , środek $S = (1, 1)$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →