Równanie prostej z wektora normalnego i kierunkowego - i kąt 45° między nimi

Szkoła średnia łatwe

a) Wyznacz równanie ogólne prostej $k$ przechodzącej przez punkt $P = (4, -1)$ i prostopadłej do wektora $\vec{n} = [2, -5]$ .

b) Wyznacz równanie ogólne prostej $l$ przechodzącej przez punkt $Q = (-2, 3)$ i równoległej do wektora $\vec{u} = [3, 7]$ .

c) Oblicz kąt między prostymi $k$ i $l$ .

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Prosta z wektora normalnego. Punkt $X = (x, y)$ leży na $k$ , gdy $\overrightarrow{PX} = [x - 4,\ y + 1]$ jest prostopadły do $\vec{n}$ , czyli $\vec{n} \circ \overrightarrow{PX} = 0$ :

$2(x - 4) - 5(y + 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x - 5y - 13 = 0.$

Kontrola: $2 \cdot 4 - 5 \cdot (-1) - 13 = 0$ .

Krok 2. Wektor normalny prostej $l$ . Wektor prostopadły do $\vec{u} = [3, 7]$ dostajemy, zamieniając współrzędne miejscami i zmieniając jeden znak: $[7, -3]$ . Kontrola: $3 \cdot 7 + 7 \cdot (-3) = 0$ .

Krok 3. Prosta $l$ .

$7(x + 2) - 3(y - 3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 7x - 3y + 23 = 0.$

Kontrola: $7 \cdot (-2) - 3 \cdot 3 + 23 = 0$ .

Krok 4. Kąt między prostymi. Wektory normalne $[2, -5]$ i $[7, -3]$ :

$\cos \varphi = \frac{|2 \cdot 7 + (-5) \cdot (-3)|}{\sqrt{4 + 25} \cdot \sqrt{49 + 9}} = \frac{29}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{58}} = \frac{29}{29\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Zatem $\varphi = 45^\circ$ .

Odpowiedź. a) $k\colon 2x - 5y - 13 = 0$ ; b) $l\colon 7x - 3y + 23 = 0$ ; c) $45^\circ$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →