Trójkąt równoramienny z podstawą na prostej y = x - równanie drugiego ramienia i kąt rozwarty

Szkoła średnia trudne

Podstawa $AB$ trójkąta równoramiennego $ABC$ leży na prostej $y = x$ , przy czym $A = (1, 1)$ . Ramię $AC$ leży na prostej $y = 7x - 6$ , a wierzchołek $C$ ma pierwszą współrzędną równą $2$ .

a) Wyznacz współrzędne wierzchołków $C$ i $B$ oraz równanie prostej $BC$ .

b) Oblicz kąty trójkąta $ABC$ (dokładnie: cosinusy, i w przybliżeniu w stopniach).

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Wierzchołek $C$ . $y = 7 \cdot 2 - 6 = 8$ , więc $C = (2, 8)$ .

Krok 2. Wierzchołek $B$ . W trójkącie równoramiennym wierzchołek $C$ leży na symetralnej podstawy. Prosta przez $C$ prostopadła do $y = x$ to $y = -x + 10$ ; przecina ona podstawę w środku $M$ : $x = -x + 10$ , więc $M = (5, 5)$ . Z $M = \frac{A + B}{2}$ :

$B = (2 \cdot 5 - 1,\ 2 \cdot 5 - 1) = (9, 9).$

Krok 3. Prosta $BC$ . Współczynnik kierunkowy $\frac{9 - 8}{9 - 2} = \frac{1}{7}$ , więc $y - 9 = \frac{1}{7}(x - 9)$ , czyli $x - 7y + 54 = 0$ .

Trójkąt A(1, 1), B(9, 9), C(2, 8) z podstawą na prostej y = x. Spodek wysokości z C to środek podstawy M(5, 5). Kąt przy C jest rozwarty.

Krok 4. Kąty przy podstawie. Kąt między $AB$ ( $a = 1$ ) a $AC$ ( $a = 7$ ):

$\operatorname{tg} \varphi_A = \left| \frac{7 - 1}{1 + 7} \right| = \frac{3}{4}.$

Kąt między $AB$ a $BC$ ( $a = \frac{1}{7}$ ): $\left|\frac{\frac{1}{7} - 1}{1 + \frac{1}{7}}\right| = \frac{\frac{6}{7}}{\frac{8}{7}} = \frac{3}{4}$ - ten sam, jak w trójkącie równoramiennym. Z $\operatorname{tg} \varphi = \frac{3}{4}$ : $\cos \varphi = \frac{4}{5}$ , $\varphi \approx 36{,}87^\circ$ .

Krok 5. Kąt przy $C$ - pułapka. Kąt między prostymi $AC$ i $BC$ :

$\operatorname{tg} \varphi_C = \left| \frac{7 - \frac{1}{7}}{1 + 7 \cdot \frac{1}{7}} \right| = \frac{\frac{48}{7}}{2} = \frac{24}{7}, \qquad \varphi_C \approx 73{,}74^\circ.$

Ale $36{,}87^\circ + 36{,}87^\circ + 73{,}74^\circ \ne 180^\circ$ . Kąt trójkąta przy $C$ jest rozwarty i równy $180^\circ - \varphi_C$ . Rozstrzyga iloczyn skalarny: $\overrightarrow{CA} = [-1, -7]$ , $\overrightarrow{CB} = [7, 1]$ ,

$\cos \sphericalangle C = \frac{(-1) \cdot 7 + (-7) \cdot 1}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{50}} = \frac{-14}{50} = -\frac{7}{25}.$

Ujemny cosinus - kąt rozwarty: $\sphericalangle C \approx 106{,}26^\circ$ . Kontrola: $\cos \sphericalangle C = -\cos 2\varphi_A = -\left(\frac{16}{25} - \frac{9}{25}\right) = -\frac{7}{25}$ .

Odpowiedź. a) $C = (2, 8)$ , $B = (9, 9)$ , $BC\colon x - 7y + 54 = 0$ . b) $\cos \sphericalangle A = \cos \sphericalangle B = \frac{4}{5}$ , czyli $\sphericalangle A = \sphericalangle B \approx 36{,}87^\circ$ ; $\cos \sphericalangle C = -\frac{7}{25}$ , czyli $\sphericalangle C \approx 106{,}26^\circ$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →