Rzut prostokątny punktu na prostą i odległość punktu od prostej

Krok 1. Czym jest rzut. Rzut prostokątny $P'$ punktu $P$ na prostą $l$ to spodek prostopadłej opuszczonej z $P$ na $l$. Leży więc na dwóch prostych: na $l$ i na prostej przez $P$ prostopadłej do $l$ - i jest rozwiązaniem układu ich równań.

Krok 2. Prosta prostopadła przez $P$. Prosta $l$ ma współczynnik $2$, więc prostopadła ma współczynnik $-\frac{1}{2}$:

$y - 5 = -\frac{1}{2}(x + 1) \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2}.$

Krok 3. Układ równań.

$\begin{cases} y = 2x - 3 \\ y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad 2x - 3 = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{5}{2}x = \frac{15}{2} \quad\Longrightarrow\quad x = 3.$

Wtedy $y = 2 \cdot 3 - 3 = 3$, czyli $P' = (3, 3)$.

Krok 4. Odległość. Odległość punktu od prostej to długość odcinka $PP'$:

$|PP'| = \sqrt{(3 + 1)^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.$

Krok 5. Kontrola wzorem. Prosta $l$ w postaci ogólnej: $2x - y - 3 = 0$. Wzór na odległość daje

$d = \frac{|2 \cdot (-1) - 5 - 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}.$

Uwaga. Punkt prostej $l$ „pod” punktem $P$, czyli $(-1, -5)$, nie jest rzutem - odcinek do niego jest pionowy, a nie prostopadły do $l$, i ma długość $10$, większą niż $2\sqrt{5}$.

Odpowiedź. Rzut punktu $P$ na prostą $l$ to $P' = (3, 3)$, a odległość punktu $P$ od prostej $l$ wynosi $2\sqrt{5}$.