Wierzchołki kwadratu z danej przekątnej AC - współrzędne B i D

Krok 1. Własności przekątnych kwadratu. Przekątne kwadratu mają równe długości, przecinają się w swoich środkach i są prostopadłe. Druga przekątna $BD$ leży więc na prostej prostopadłej do $AC$, przechodzącej przez środek $AC$ (na symetralnej odcinka $AC$), a $B$ i $D$ są odległe od środka o tyle samo co $A$ i $C$.

Krok 2. Środek przekątnej.

$S = \left(\frac{-1 + 5}{2},\ \frac{2 + 4}{2}\right) = (2, 3).$

Krok 3. Prosta $BD$. Współczynnik prostej $AC$: $\frac{4 - 2}{5 - (-1)} = \frac{1}{3}$, więc prostopadła ma współczynnik $-3$:

$y - 3 = -3(x - 2) \quad\Longrightarrow\quad y = -3x + 9.$

Krok 4. Odległość od środka. $|SA| = \sqrt{(2 + 1)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{10}$. Szukamy punktów $(x, -3x + 9)$ odległych od $S$ o $\sqrt{10}$:

$(x - 2)^2 + (-3x + 9 - 3)^2 = 10 \quad\Longrightarrow\quad (x - 2)^2 + 9(x - 2)^2 = 10 \quad\Longrightarrow\quad (x - 2)^2 = 1.$

Stąd $x = 1$ albo $x = 3$, a odpowiednie punkty to $(1, 6)$ i $(3, 0)$.

Krok 5. Nazwanie wierzchołków. Przy obiegu $A \to B \to C \to D$ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara $B = (3, 0)$ i $D = (1, 6)$. Przy odwrotnym obiegu nazwy się zamieniają - zbiór wierzchołków jest ten sam.

Krok 6. Pole. Przekątna ma długość $|AC| = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40}$, a pole kwadratu to połowa kwadratu przekątnej:

$P = \frac{|AC|^2}{2} = \frac{40}{2} = 20.$

Kontrola. $|AB| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{20}$, $|BC| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}$, więc $P = \left(\sqrt{20}\right)^2 = 20$. Boki $AB$ i $BC$ mają współczynniki $-\frac{1}{2}$ i $2$ - są prostopadłe.

Odpowiedź. $B = (3, 0)$, $D = (1, 6)$, pole kwadratu wynosi $20$.