Najkrótsza droga z odbiciem od prostej - punkt minimalizujący |AP| + |PB|

Krok 1. Po której stronie prostej leżą punkty. Dla $A$: $3 > 0 - 1$, dla $B$: $6 > 3 - 1$ - oba leżą nad prostą $l$, po tej samej stronie. Odcinek $AB$ nie przecina więc rzeki i trzeba „zbić” drogę z dwóch kawałków.

Krok 2. Pomysł z odbiciem. Niech $B'$ będzie punktem symetrycznym do $B$ względem $l$. Każdy punkt $P$ prostej $l$ jest równo oddalony od $B$ i $B'$, więc $|AP| + |PB| = |AP| + |PB'|$. Droga z $A$ do $B'$ jest najkrótsza w linii prostej, czyli szukany punkt $P$ to przecięcie odcinka $AB'$ z prostą $l$.

Krok 3. Punkt $B'$. Prostopadła do $l$ przez $B$ ma współczynnik $-1$: $y = -x + 9$. Rzut:

$x - 1 = -x + 9 \quad\Longrightarrow\quad x = 5,\ y = 4, \qquad M = (5, 4),$

$B' = (2 \cdot 5 - 3,\ 2 \cdot 4 - 6) = (7, 2).$

Krok 4. Prosta $AB'$.

$a = \frac{2 - 3}{7 - 0} = -\frac{1}{7}, \qquad y = -\frac{1}{7}x + 3.$

Krok 5. Punkt $P$.

$x - 1 = -\frac{1}{7}x + 3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{8}{7}x = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{7}{2}, \quad y = \frac{5}{2}.$

Zatem $P = \left(\frac{7}{2}, \frac{5}{2}\right)$.

Krok 6. Długość drogi. Najkrótsza droga ma długość odcinka $AB'$:

$|AB'| = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.$

Krok 7. Kontrola. $|AP| = \sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{50}{4}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ oraz $|PB| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$, razem $5\sqrt{2} \approx 7{,}07$. Dla porównania przez punkt $(1, 0)$ prostej $l$ droga ma długość $\sqrt{10} + \sqrt{40} = 3\sqrt{10} \approx 9{,}49$.

Uwaga. Gdyby $A$ i $B$ leżały po przeciwnych stronach prostej, odbicie byłoby zbędne - najkrótsza droga to odcinek $AB$, a $P$ to jego punkt wspólny z prostą.

Odpowiedź. $P = \left(\frac{7}{2}, \frac{5}{2}\right)$, najkrótsza droga ma długość $5\sqrt{2}$.