Punkt symetryczny względem prostej y = ½x + 1 - przez rzut i środek odcinka

Krok 1. Własność symetrii osiowej. Odcinek $AA'$ jest prostopadły do osi symetrii $l$, a jego środek leży na $l$. Tym środkiem jest więc rzut $M$ punktu $A$ na prostą $l$.

Krok 2. Prosta prostopadła przez $A$. Prosta $l$ ma współczynnik $\frac{1}{2}$, prostopadła ma współczynnik $-2$:

$y + 2 = -2(x - 4) \quad\Longrightarrow\quad y = -2x + 6.$

Krok 3. Rzut $M$.

$\frac{1}{2}x + 1 = -2x + 6 \quad\Longrightarrow\quad \frac{5}{2}x = 5 \quad\Longrightarrow\quad x = 2, \quad y = \frac{1}{2} \cdot 2 + 1 = 2.$

Zatem $M = (2, 2)$.

Krok 4. Punkt $A'$ ze wzoru na środek odcinka. $M$ jest środkiem $AA'$, więc $A' = (2x_M - x_A,\ 2y_M - y_A)$:

$A' = (2 \cdot 2 - 4,\ 2 \cdot 2 - (-2)) = (0, 6).$

Krok 5. Kontrola. $|MA| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20}$ i $|MA'| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{20}$. Współczynnik prostej $AA'$: $\frac{6 - (-2)}{0 - 4} = -2$, a $-2 \cdot \frac{1}{2} = -1$ - odcinek jest prostopadły do $l$.

Odpowiedź. $A' = (0, 6)$.