Prosta symetryczna do y = 2x − 4 względem punktu S = (1, 3)

Krok 1. Kierunek obrazu. Symetria środkowa przeprowadza prostą na prostą do niej równoległą (odcinek obraca się o $180^\circ$, więc nie zmienia kierunku). Zatem $l'$ ma ten sam współczynnik kierunkowy: $l'\colon y = 2x + c$. Punkt $S$ nie leży na $l$ ($2 \cdot 1 - 4 = -2 \ne 3$), więc $l'$ będzie inną prostą niż $l$.

Krok 2. Obraz jednego punktu. Weźmy punkt $L = (2, 0)$ prostej $l$. Punkt $S$ jest środkiem odcinka $LL'$, więc

$L' = (2x_S - x_L,\ 2y_S - y_L) = (2 - 2,\ 6 - 0) = (0, 6).$

Krok 3. Wyraz wolny. Punkt $L' = (0, 6)$ leży na $l'$, więc $6 = 2 \cdot 0 + c$, czyli $c = 6$:

$l'\colon y = 2x + 6.$

Krok 4. Kontrola drugim punktem. Punkt $K = (3, 2)$ leży na $l$ ($6 - 4 = 2$). Jego obraz to $K' = (2 - 3,\ 6 - 2) = (-1, 4)$, a $2 \cdot (-1) + 6 = 4$ - leży na $l'$. Dodatkowo $S$ jest równo oddalony od obu prostych: $\frac{|2 - 3 - 4|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ oraz $\frac{|2 - 3 + 6|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.

Krok 5. Część b). Symetria względem początku układu zamienia punkt $(x, y)$ na $(-x, -y)$. Obrazem punktu $L = (2, 0)$ jest $(-2, 0)$, a obraz prostej ma znów współczynnik $2$: $0 = 2 \cdot (-2) + c$, więc $c = 4$ i prosta ma równanie $y = 2x + 4$.

To samo daje podstawienie $-x$ za $x$ i $-y$ za $y$ w równaniu $l$: $-y = -2x - 4$, czyli $y = 2x + 4$.

Odpowiedź. a) $l'\colon y = 2x + 6$; b) $y = 2x + 4$.