Prosta symetryczna do y = 3x − 3 względem prostej y = x + 1

Krok 1. Plan. Prostą wyznaczają dwa punkty. Wystarczy więc znaleźć obrazy dwóch punktów prostej $k$. Najwygodniej wziąć punkt wspólny $k$ i $l$ - leży na osi symetrii, więc jest swoim własnym obrazem.

Krok 2. Punkt wspólny $T$.

$3x - 3 = x + 1 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = 2,\ y = 3, \qquad T = (2, 3).$

Krok 3. Drugi punkt i jego rzut. Weźmy $Q = (1, 0)$ z prostej $k$ ($3 - 3 = 0$). Prostopadła do $l$ przez $Q$ ma współczynnik $-1$: $y = -(x - 1) = -x + 1$. Rzut $M$:

$x + 1 = -x + 1 \quad\Longrightarrow\quad x = 0,\ y = 1, \qquad M = (0, 1).$

Krok 4. Obraz punktu $Q$. $M$ jest środkiem odcinka $QQ'$:

$Q' = (2 \cdot 0 - 1,\ 2 \cdot 1 - 0) = (-1, 2).$

Krok 5. Prosta przez $T$ i $Q'$.

$a = \frac{3 - 2}{2 - (-1)} = \frac{1}{3}, \qquad y - 3 = \frac{1}{3}(x - 2) \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}.$

Krok 6. Kontrola trzecim punktem. Punkt $R = (3, 6)$ leży na $k$. Prostopadła do $l$ przez $R$: $y = -x + 9$; przecięcie z $l$: $x + 1 = -x + 9$, czyli $(4, 5)$. Obraz: $R' = (8 - 3,\ 10 - 6) = (5, 4)$, a $\frac{1}{3} \cdot 5 + \frac{7}{3} = \frac{12}{3} = 4$ - punkt $R'$ leży na $k'$.

Uwaga. Sam obraz jednego punktu nie wystarcza - a gdyby prosta $k$ była równoległa do $l$ (nie miała z nią punktu wspólnego), trzeba by odbić dwa dowolne jej punkty; obraz byłby wtedy też równoległy do $l$.

Odpowiedź. $k'\colon y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$.