Ortocentrum i środek ciężkości trójkąta ze współrzędnych wierzchołków

Krok 1. Wysokość z wierzchołka $C$. Bok $AB$ leży na osi $OX$, więc wysokość z $C$ jest pionowa: $x = 2$.

Uwaga. Tej prostej nie da się zapisać w postaci $y = ax + b$ - nie ma współczynnika kierunkowego. Wzór „prostopadła ma współczynnik $-\frac{1}{a}$” przy $a = 0$ zawodzi; prostopadła do poziomej to po prostu prosta pionowa.

Krok 2. Wysokość z wierzchołka $A$. Bok $BC$ ma współczynnik $\frac{4 - 0}{2 - 4} = -2$, więc wysokość z $A$ ma współczynnik $\frac{1}{2}$:

$y = \frac{1}{2}(x + 2) = \frac{1}{2}x + 1.$

Krok 3. Ortocentrum. Wystarczą dwie wysokości:

$\begin{cases} x = 2 \\ y = \frac{1}{2}x + 1 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad H = (2, 2).$

Krok 4. Kontrola trzecią wysokością. Bok $AC$ ma współczynnik $\frac{4 - 0}{2 + 2} = 1$, więc wysokość z $B$ ma współczynnik $-1$: $y = -(x - 4) = -x + 4$. Dla $x = 2$ daje $y = 2$ - przechodzi przez $H$.

Krok 5. Środkowe. Środek boku $AB$ to $(1, 0)$, środek boku $BC$ to $(3, 2)$. Środkowa z $C$ przechodzi przez $(2, 4)$ i $(1, 0)$, środkowa z $A$ - przez $(-2, 0)$ i $(3, 2)$:

$y = 4x - 4, \qquad y = \frac{2}{5}(x + 2) = \frac{2}{5}x + \frac{4}{5}.$

Krok 6. Środek ciężkości.

$4x - 4 = \frac{2}{5}x + \frac{4}{5} \quad\Longrightarrow\quad \frac{18}{5}x = \frac{24}{5} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{4}{3}, \quad y = 4 \cdot \frac{4}{3} - 4 = \frac{4}{3}.$

Kontrola wzorem na średnią współrzędnych wierzchołków: $G = \left(\frac{-2 + 4 + 2}{3},\ \frac{0 + 0 + 4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)$.

Krok 7. Ciekawostka - prosta Eulera. Środek okręgu opisanego na tym trójkącie to $O = (1, 1)$ (leży na symetralnej $x = 1$ boku $AB$, a $|OA|^2 = |OB|^2 = |OC|^2 = 10$). Punkty $O$, $G$, $H$ leżą na jednej prostej $y = x$, a $G$ dzieli odcinek $OH$ w stosunku $1 : 2$: $\overrightarrow{OG} = \left[\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right]$, $\overrightarrow{GH} = \left[\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right]$. Tak jest w każdym trójkącie, który nie jest równoboczny.

Odpowiedź. $H = (2, 2)$, $G = \left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)$.