Trójkąt prostokątny z wierzchołkiem na osi x - wszystkie punkty C dla A = (−1, 1), B = (4, 6)

Krok 1. Trzy przypadki. Punkt na osi $x$ ma postać $C = (c, 0)$. Nie wiadomo, przy którym wierzchołku jest kąt prosty, więc rozważamy wszystkie trzy. W każdym kąt prosty oznacza iloczyn skalarny równy zeru dla wektorów zaczepionych w tym wierzchołku.

Krok 2. Kąt prosty przy $C$. $\overrightarrow{CA} = [-1 - c,\ 1]$, $\overrightarrow{CB} = [4 - c,\ 6]$:

$(-1 - c)(4 - c) + 1 \cdot 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c^2 - 3c - 4 + 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c^2 - 3c + 2 = 0.$

Stąd $(c - 1)(c - 2) = 0$, czyli $c = 1$ lub $c = 2$.

Krok 3. Kąt prosty przy $A$. $\overrightarrow{AB} = [5, 5]$, $\overrightarrow{AC} = [c + 1,\ -1]$:

$5(c + 1) + 5 \cdot (-1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5c = 0 \quad\Longrightarrow\quad c = 0.$

Krok 4. Kąt prosty przy $B$. $\overrightarrow{BA} = [-5, -5]$, $\overrightarrow{BC} = [c - 4,\ -6]$:

$-5(c - 4) + (-5)(-6) = 0 \quad\Longrightarrow\quad -5c + 50 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c = 10.$

Krok 5. Czy to są trójkąty. Prosta $AB$ ma równanie $y = x + 2$ i przecina oś $x$ w punkcie $(-2, 0)$ - żaden z czterech punktów nim nie jest, więc w każdym przypadku powstaje prawdziwy trójkąt.

Krok 6. Kontrola jednego przypadku. Dla $C = (1, 0)$: $\overrightarrow{CA} = [-2, 1]$, $\overrightarrow{CB} = [3, 6]$, iloczyn $-6 + 6 = 0$. Dla $C = (2, 0)$: $[-3, 1] \circ [2, 6] = -6 + 6 = 0$.

Odpowiedź. $C = (0, 0)$, $C = (1, 0)$, $C = (2, 0)$ lub $C = (10, 0)$.