Długość różnicy i sumy wektorów z iloczynu skalarnego - |u| = 2, |v| = 5, kąt 60°

Krok 1. Iloczyn skalarny z definicji.

$\vec{u} \circ \vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos 60^\circ = 2 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 5.$

Krok 2. Długość różnicy. Korzystamy z $\vec{w} \circ \vec{w} = |\vec{w}|^2$ i rozpisujemy jak wzór skróconego mnożenia:

$|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 - 2\,\vec{u} \circ \vec{v} + |\vec{v}|^2 = 4 - 10 + 25 = 19 \quad\Longrightarrow\quad |\vec{u} - \vec{v}| = \sqrt{19}.$

To samo daje twierdzenie cosinusów dla trójkąta o bokach $2$ i $5$ z kątem $60^\circ$ między nimi.

Krok 3. Długość $2\vec{u} + \vec{v}$.

$|2\vec{u} + \vec{v}|^2 = 4|\vec{u}|^2 + 4\,\vec{u} \circ \vec{v} + |\vec{v}|^2 = 16 + 20 + 25 = 61 \quad\Longrightarrow\quad |2\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{61}.$

Krok 4. Prostopadłość. Warunek $(\vec{u} + k\vec{v}) \circ \vec{u} = 0$:

$|\vec{u}|^2 + k\,\vec{u} \circ \vec{v} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4 + 5k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = -\frac{4}{5}.$

Krok 5. Kontrola na współrzędnych. Weźmy $\vec{u} = [2, 0]$ i $\vec{v} = \left[\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2}\right]$ (długość $5$, kąt $60^\circ$ z osią $x$). Wtedy $\vec{u} - \vec{v} = \left[-\frac{1}{2}, -\frac{5\sqrt{3}}{2}\right]$ ma kwadrat długości $\frac{1}{4} + \frac{75}{4} = 19$, a $\vec{u} - \frac{4}{5}\vec{v} = [0, -2\sqrt{3}]$ jest pionowy, czyli prostopadły do poziomego $\vec{u}$.

Odpowiedź. a) $5$; b) $|\vec{u} - \vec{v}| = \sqrt{19}$, $|2\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{61}$; c) $k = -\frac{4}{5}$.