Kąt między wektorami u = [√3, 1] i v = [−2, 0] - 150° ze wzoru na cosinus

Krok 1. Iloczyn skalarny i długości.

$\vec{u} \circ \vec{v} = \sqrt{3} \cdot (-2) + 1 \cdot 0 = -2\sqrt{3}, \qquad |\vec{u}| = \sqrt{3 + 1} = 2, \qquad |\vec{v}| = 2.$

Krok 2. Cosinus i kąt.

$\cos\alpha = \frac{-2\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 150^\circ,$

bo w przedziale $\langle 0^\circ, 180^\circ\rangle$ tylko kąt $150^\circ$ ma cosinus $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Krok 3. Wektor $\vec{u} + \vec{v}$. $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v} = [\sqrt{3} - 2,\ 1]$, a

$|\vec{w}|^2 = (\sqrt{3} - 2)^2 + 1 = 3 - 4\sqrt{3} + 4 + 1 = 8 - 4\sqrt{3}.$

Krok 4. Kąt między $\vec{u}$ i $\vec{w}$ bez liczenia pierwiastka. Wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ mają równe długości, więc rozpinają romb, a $\vec{w}$ jest jego przekątną. Przekątna rombu dzieli kąt na połowy:

$\angle(\vec{u}, \vec{w}) = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ.$

Kontrola rachunkiem: $\vec{u} \circ \vec{w} = \sqrt{3}(\sqrt{3} - 2) + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$, a $|\vec{u}|^2 + \vec{u} \circ \vec{v} = 4 - 2\sqrt{3}$ - to samo. Wtedy $\cos\angle(\vec{u}, \vec{w}) = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}} \approx 0{,}2588 = \cos 75^\circ$.

Odpowiedź. a) $150^\circ$; b) $75^\circ$.