Dla jakich m wektory u = [m + 1, −2] i v = [m, 3] są prostopadłe

Szkoła średnia średnie

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których wektory $\vec{u} = [m + 1,\ -2]$ i $\vec{v} = [m,\ 3]$ są prostopadłe.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Warunek prostopadłości. Wektory niezerowe są prostopadłe, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru:

$\vec{u} \circ \vec{v} = (m + 1) \cdot m + (-2) \cdot 3 = m^2 + m - 6.$

Krok 2. Równanie.

$m^2 + m - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (m + 3)(m - 2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = -3 \ \text{lub}\ m = 2.$

Krok 3. Wektory niezerowe. Wektor $\vec{v}$ ma drugą współrzędną $3$ , a $\vec{u}$ - drugą współrzędną $-2$ , więc żaden z nich nie jest zerowy dla żadnego $m$ . Obie wartości są dobre.

Krok 4. Kontrola.

$m = 2$ : $\vec{u} = [3, -2]$ , $\vec{v} = [2, 3]$ , $\vec{u} \circ \vec{v} = 6 - 6 = 0$ ;
$m = -3$ : $\vec{u} = [-2, -2]$ , $\vec{v} = [-3, 3]$ , $\vec{u} \circ \vec{v} = 6 - 6 = 0$ .

Odpowiedź. $m = 2$ lub $m = -3$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →