Kąt ostry i rozwarty między wektorami z parametrem - u = [m, 1], v = [4, m]

Krok 1. Iloczyn skalarny.

$\vec{u} \circ \vec{v} = 4m + m = 5m.$

Oba wektory są niezerowe dla każdego $m$ (druga współrzędna $\vec{u}$ i pierwsza $\vec{v}$ nie znikają).

Krok 2. Kąt prosty. $5m = 0$, czyli $m = 0$: wtedy $\vec{u} = [0, 1]$ i $\vec{v} = [4, 0]$ - pionowy i poziomy.

Krok 3. Wektory równoległe - pułapka. Iloczyn dodatni oznacza kąt ostry albo $0^\circ$, a ujemny - rozwarty albo $180^\circ$. Kąty $0^\circ$ i $180^\circ$ trzeba wykluczyć, więc szukamy wektorów równoległych:

$m \cdot m - 1 \cdot 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad m = 2 \ \text{lub}\ m = -2.$

• $m = 2$: $\vec{u} = [2, 1]$, $\vec{v} = [4, 2] = 2\vec{u}$ - zwroty zgodne, kąt $0^\circ$;
• $m = -2$: $\vec{u} = [-2, 1]$, $\vec{v} = [4, -2] = -2\vec{u}$ - zwroty przeciwne, kąt $180^\circ$.

Krok 4. Kąt ostry. $5m > 0$, czyli $m > 0$, bez $m = 2$.

Krok 5. Kąt rozwarty. $5m < 0$, czyli $m < 0$, bez $m = -2$.

Odpowiedź. a) $m = 0$; b) $m \in (0, 2) \cup (2, \infty)$; c) $m \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0)$.