Kąt ostry, prosty czy rozwarty? Znak iloczynu skalarnego dla trzech par wektorów

Krok 1. Reguła. $\vec{u} \circ \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha$. Długości są dodatnie, więc znak iloczynu skalarnego to znak $\cos\alpha$: plus - kąt ostry, zero - prosty, minus - rozwarty. Żadna z par nie jest równoległa (sprawdzamy $u_1 v_2 - u_2 v_1 \ne 0$), więc kąty $0^\circ$ i $180^\circ$ nie wchodzą w grę.

Krok 2. Para a).

$\vec{u} \circ \vec{v} = 2 \cdot 3 + 5 \cdot (-1) = 1 > 0 \quad\Longrightarrow\quad \text{kąt ostry}.$

Dokładniej: $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{290}} \approx 0{,}0587$, czyli $\alpha \approx 86{,}6^\circ$ - ostry, choć niewiele brakuje do prostego.

Krok 3. Para b).

$\vec{u} \circ \vec{v} = 4 \cdot 3 + (-6) \cdot 2 = 12 - 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \text{kąt prosty}.$

Krok 4. Para c).

$\vec{u} \circ \vec{v} = (-2) \cdot 4 + 3 \cdot 1 = -5 < 0 \quad\Longrightarrow\quad \text{kąt rozwarty}.$

Dokładniej: $\cos\alpha = \frac{-5}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{17}} = -\frac{5}{\sqrt{221}} \approx -0{,}3363$, czyli $\alpha \approx 109{,}7^\circ$.

Odpowiedź. a) $1$, kąt ostry ($\approx 86{,}6^\circ$); b) $0$, kąt prosty; c) $-5$, kąt rozwarty ($\approx 109{,}7^\circ$).