Kąty trójkąta ze współrzędnych wierzchołków - A = (−1, −1), B = (5, 1), C = (1, 5)

Krok 1. Kąt przy $A$ - wektory zaczepione w $A$:

$\overrightarrow{AB} = [6, 2], \quad \overrightarrow{AC} = [2, 6], \quad \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC} = 12 + 12 = 24.$

Obie długości są równe $\sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$, więc

$\cos\angle A = \frac{24}{\sqrt{40} \cdot \sqrt{40}} = \frac{24}{40} = 0{,}6 \quad\Longrightarrow\quad \angle A \approx 53{,}13^\circ.$

Krok 2. Kąt przy $B$.

$\overrightarrow{BA} = [-6, -2], \quad \overrightarrow{BC} = [-4, 4], \quad \overrightarrow{BA} \circ \overrightarrow{BC} = 24 - 8 = 16,$

$\cos\angle B = \frac{16}{\sqrt{40} \cdot \sqrt{32}} = \frac{16}{\sqrt{1280}} = \frac{16}{16\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \quad\Longrightarrow\quad \angle B \approx 63{,}43^\circ.$

Krok 3. Kąt przy $C$. Z kroku 1 wiemy, że $|AB| = |AC|$ - trójkąt jest równoramienny o podstawie $BC$, więc kąty przy podstawie są równe: $\angle C = \angle B \approx 63{,}43^\circ$. Kontrola rachunkiem: $\overrightarrow{CA} = [-2, -6]$, $\overrightarrow{CB} = [4, -4]$, iloczyn $-8 + 24 = 16$, długości $\sqrt{40}$ i $\sqrt{32}$ - ten sam cosinus $\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Krok 4. Kontrola sumy. $53{,}13^\circ + 63{,}43^\circ + 63{,}43^\circ = 179{,}99^\circ$ - różnica $0{,}01^\circ$ to tylko zaokrąglenia (dokładnie: $\angle A = 180^\circ - 2\angle B$).

Odpowiedź. $\angle A \approx 53{,}13^\circ$, $\angle B = \angle C \approx 63{,}43^\circ$.