Przesunięcie okręgu o wektor [m, 2m] z parametrem - kiedy obraz jest styczny do osi

Krok 1. Obraz okręgu. Środek $(3, -2)$ przechodzi w $O' = (3 + m,\ -2 + 2m)$, promień zostaje równy $2$:

$o'\colon \big(x - (3 + m)\big)^2 + \big(y - (-2 + 2m)\big)^2 = 4.$

Krok 2. Styczność z osią $OY$. Okrąg jest styczny do osi $OY$, gdy odległość środka od niej, czyli $|x_{O'}|$, równa się promieniowi:

$|3 + m| = 2 \quad\Longrightarrow\quad m = -1 \ \text{lub}\ m = -5.$

Krok 3. Styczność z osią $OX$: $|y_{O'}| = 2$:

$|-2 + 2m| = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2m - 2 = 2 \ \text{lub}\ 2m - 2 = -2 \quad\Longrightarrow\quad m = 2 \ \text{lub}\ m = 0.$

Wartość $m = 0$ odrzucamy (z założenia $m \ne 0$; wtedy zresztą nie byłoby przesunięcia, a okrąg $o$ już jest styczny do osi $OX$). Zbiory $\{-1, -5\}$ i $\{2\}$ nie mają części wspólnej - nie ma$m$, dla którego obraz jest styczny do obu osi.

Krok 4. Prosta przechodzi na siebie (b). Przesunięcie: $x = x' - m$, $y = y' - 2m$. Podstawiamy:

$2(x' - m) - (y' - 2m) + 5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x' - y' + 5 = 0.$

Parametr się skrócił. Powód: wektor $[m, 2m] = m \cdot [1, 2]$ jest równoległy do prostej $y = 2x + 5$ (jej wektor kierunkowy to $[1, 2]$), a przesunięcie wzdłuż prostej przesuwa jej punkty po niej samej.

Krok 5. Środek na prostej (c). $(3 + m) + (-2 + 2m) = 7$, czyli $3m + 1 = 7$ i $m = 2$. Wtedy $O' = (5, 2)$, a obraz jest dodatkowo styczny do osi $OX$ (zgodnie z krokiem 3).

Odpowiedź. a) Styczny do $OY$ dla $m = -1$ lub $m = -5$, do $OX$ dla $m = 2$; do obu osi jednocześnie - dla żadnego $m$. b) Wektor $[m, 2m]$ jest równoległy do prostej, więc prosta przechodzi na siebie. c) $m = 2$, środek obrazu $(5, 2)$.