Obrót trójkąta o 90° wokół punktu S = (2, 1) - współrzędne obrazu krok po kroku

Krok 1. Metoda. Obrót o $90^\circ$ wokół $S$: liczymy wektor $\overrightarrow{SP} = [p, q]$, obracamy go na $[-q, p]$ i dodajemy do $S$.

Krok 2. Wektory od środka.

$\overrightarrow{SA} = [2, 0], \qquad \overrightarrow{SB} = [3, 2], \qquad \overrightarrow{SC} = [1, 3].$

Krok 3. Obrót wektorów: $[2, 0] \mapsto [0, 2]$, $[3, 2] \mapsto [-2, 3]$, $[1, 3] \mapsto [-3, 1]$.

Krok 4. Dodajemy do $S = (2, 1)$.

$A' = (2, 3), \qquad B' = (0, 4), \qquad C' = (-1, 2).$

Krok 5. Prostopadłość boków. $\overrightarrow{AB} = [1, 2]$, $\overrightarrow{A'B'} = [-2, 1]$, a ich iloczyn skalarny $1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 0$. Każdy odcinek po obrocie o $90^\circ$ jest prostopadły do swojego pierwowzoru.

Krok 6. Pola. Obrót jest izometrią, więc pola są równe. Sprawdzamy wzorem na pole trójkąta z wektorów $\overrightarrow{AB} = [1, 2]$ i $\overrightarrow{AC} = [-1, 3]$:

$P = \frac{1}{2}\left|1 \cdot 3 - 2 \cdot (-1)\right| = \frac{5}{2}.$

Dla obrazu: $\overrightarrow{A'B'} = [-2, 1]$, $\overrightarrow{A'C'} = [-3, -1]$, $P' = \frac{1}{2}\left|(-2)(-1) - 1 \cdot (-3)\right| = \frac{5}{2}$.

Odpowiedź. $A' = (2, 3)$, $B' = (0, 4)$, $C' = (-1, 2)$. $A'B' \perp AB$, a oba trójkąty mają pole $\frac{5}{2}$.