Wektor przesunięcia z pary punktów - obraz równoległoboku ABCD w przesunięciu

Krok 1. Wektor przesunięcia. Punkt przechodzi na swój obraz, więc $\vec{u} = \overrightarrow{AA'}$:

$\vec{u} = [1 - (-2),\ -1 - 3] = [3, -4], \qquad |\vec{u}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5.$

Krok 2. Czwarty wierzchołek równoległoboku. W równoległoboku $ABCD$ wektory $\overrightarrow{AD}$ i $\overrightarrow{BC}$ są równe. $\overrightarrow{BC} = [4, -3]$, więc

$D = A + \overrightarrow{BC} = (-2 + 4,\ 3 - 3) = (2, 0).$

Krok 3. Obrazy wierzchołków - do każdego dodajemy $[3, -4]$:

$B' = (0 + 3,\ 5 - 4) = (3, 1), \qquad C' = (4 + 3,\ 2 - 4) = (7, -2), \qquad D' = (2 + 3,\ 0 - 4) = (5, -4).$

Krok 4. Kontrola. Obraz równoległoboku też jest równoległobokiem: $\overrightarrow{A'D'} = [4, -3] = \overrightarrow{B'C'}$ - zgadza się.

Odpowiedź. a) $\vec{u} = [3, -4]$, $|\vec{u}| = 5$. b) $D = (2, 0)$; $B' = (3, 1)$, $C' = (7, -2)$, $D' = (5, -4)$ (oraz $A' = (1, -1)$).