Obrazy punktu P = (4, −1) w symetriach względem y = x, y = −x, x = 2, y = −3, punktu i w obrocie o 90°

Szkoła średnia łatwe

Wyznacz obraz punktu $P = (4, -1)$ w:

a) symetrii względem prostej $y = x$ ,

b) symetrii względem prostej $y = -x$ ,

c) symetrii względem prostej $x = 2$ ,

d) symetrii względem prostej $y = -3$ ,

e) symetrii względem punktu $S = (1, 1)$ ,

f) obrocie o $90^\circ$ wokół punktu $(0, 0)$ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Symetrie względem prostych $y = x$ i $y = -x$ . Względem $y = x$ zamieniamy współrzędne miejscami: $(x, y) \mapsto (y, x)$ . Względem $y = -x$ zamieniamy miejscami i zmieniamy oba znaki: $(x, y) \mapsto (-y, -x)$ .

$\text{a)}\ (-1, 4), \qquad \text{b)}\ (1, -4).$

Krok 2. Symetrie względem prostych pionowej i poziomej. Prosta $x = 2$ jest symetralną odcinka $PP'$ , więc $2 = \frac{4 + x'}{2}$ , czyli $x' = 0$ , a druga współrzędna się nie zmienia. Analogicznie dla $y = -3$ : $-3 = \frac{-1 + y'}{2}$ , czyli $y' = -5$ .

$\text{c)}\ (2 \cdot 2 - 4,\ -1) = (0, -1), \qquad \text{d)}\ (4,\ 2 \cdot (-3) - (-1)) = (4, -5).$

Krok 3. Symetria względem punktu $S = (1, 1)$ . $S$ jest środkiem odcinka $PP'$ :

$\text{e)}\ P' = (2 \cdot 1 - 4,\ 2 \cdot 1 - (-1)) = (-2, 3).$

Krok 4. Obrót o $90^\circ$ wokół $(0, 0)$ : $(x, y) \mapsto (-y, x)$ :

$\text{f)}\ P' = (-(-1),\ 4) = (1, 4).$

Krok 5. Kontrola obrotu. $|OP| = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ , $|OP'| = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$ i $[4, -1] \cdot [1, 4] = 4 - 4 = 0$ - wektory są prostopadłe. Zauważ, że obraz w obrocie (f) różni się od obrazu w symetrii względem $y = x$ (a) - to częsta pomyłka.

Odpowiedź.

Przekształcenie	Obraz punktu (4, −1)
a) symetria względem y = x	(−1, 4)
b) symetria względem y = −x	(1, −4)
c) symetria względem x = 2	(0, −1)
d) symetria względem y = −3	(4, −5)
e) symetria względem S = (1, 1)	(−2, 3)
f) obrót o 90° wokół (0, 0)	(1, 4)

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →