Obraz prostej 3x − 4y + 12 = 0 w przesunięciu o wektor [2, 3] i w symetrii względem y = x

Krok 1. Przesunięcie - stare współrzędne przez nowe. Punkt $(x, y)$ przechodzi w $(x', y') = (x + 2,\ y + 3)$, więc $x = x' - 2$ i $y = y' - 3$. Podstawiamy do równania $l$:

$3(x' - 2) - 4(y' - 3) + 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x' - 6 - 4y' + 12 + 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x' - 4y' + 18 = 0.$

Krok 2. Kontrola na punkcie. $(0, 3)$ leży na $l$ ($0 - 12 + 12 = 0$), jego obraz to $(2, 6)$, a $3 \cdot 2 - 4 \cdot 6 + 18 = 0$ - zgadza się.

Krok 3. Odległość prostych równoległych. Proste $3x - 4y + 12 = 0$ i $3x - 4y + 18 = 0$ mają te same współczynniki przy $x$ i $y$, więc

$d = \frac{|18 - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{6}{5}.$

Uwaga: to nie jest długość wektora przesunięcia ($|\vec{u}| = \sqrt{13}$). Odległość prostych mierzy tylko tę część przesunięcia, która jest prostopadła do prostej.

Krok 4. Symetria względem $y = x$ zamienia $x$ i $y$ miejscami, także w równaniu:

$3y - 4x + 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4x - 3y - 12 = 0.$

Krok 5. Kontrola. Punkt $(-4, 0)$ leży na $l$ ($-12 + 12 = 0$), jego obraz to $(0, -4)$, a $4 \cdot 0 - 3 \cdot (-4) - 12 = 0$ - zgadza się.

Odpowiedź. a) $l_1\colon 3x - 4y + 18 = 0$, odległość $\frac{6}{5}$. b) $l_2\colon 4x - 3y - 12 = 0$.