Pole trójkąta ograniczonego prostymi y = x + 2, y = −2x + 8 i y = −½x − 1

Krok 1. Wierzchołki - punkty przecięcia par prostych.

• $k \cap l$: $x + 2 = -2x + 8$, więc $x = 2$, $y = 4$ - punkt $P = (2, 4)$;
• $k \cap m$: $x + 2 = -\frac{1}{2}x - 1$, więc $\frac{3}{2}x = -3$, $x = -2$, $y = 0$ - punkt $Q = (-2, 0)$;
• $l \cap m$: $-2x + 8 = -\frac{1}{2}x - 1$, więc $\frac{3}{2}x = 9$, $x = 6$, $y = -4$ - punkt $R = (6, -4)$.

Krok 2. Wektory z wierzchołka $Q$. $\overrightarrow{QP} = [4, 4]$, $\overrightarrow{QR} = [8, -4]$.

Krok 3. Pole.

$P_{\triangle} = \frac{1}{2}\left|4 \cdot (-4) - 4 \cdot 8\right| = \frac{1}{2}|-16 - 32| = 24.$

Krok 4. Kontrola Heronem. $|QP|^2 = 32$, $|QR|^2 = 80$, $|PR|^2 = 16 + 64 = 80$. Trójkąt jest równoramienny ($|QR| = |PR| = 4\sqrt{5}$), więc wysokość z $R$ na podstawę $QP$ ma długość $\sqrt{80 - 8} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$, a pole $\frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} = 24$.

Krok 5. Wysokość na bok $PR$ (bok leżący na prostej $l$) wychodzi z wierzchołka $Q$:

$h = \frac{2P}{|PR|} = \frac{48}{4\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}.$

Kontrola wzorem na odległość $Q = (-2, 0)$ od $l\colon 2x + y - 8 = 0$: $\frac{|-4 + 0 - 8|}{\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}}$.

Odpowiedź. Pole trójkąta wynosi $24$, a szukana wysokość $\frac{12\sqrt{5}}{5} \approx 5{,}37$.