Prosta przez wierzchołek A dzieląca czworokąt na dwie części o równych polach

Krok 1. Pole czworokąta wzorem Gaussa. Składniki dla par $A \to B \to C \to D \to A$:

$(-2)(-1) - 6 \cdot (-1) = 8, \quad 6 \cdot 5 - 4 \cdot (-1) = 34, \quad 4 \cdot 3 - (-2) \cdot 5 = 22, \quad (-2)(-1) - (-2) \cdot 3 = 8.$

$P = \frac{1}{2}(8 + 34 + 22 + 8) = 36$, więc każda część ma mieć pole $18$.

Krok 2. Na którym boku leży drugi koniec podziału? Przekątna $AC$ dzieli czworokąt na trójkąty o polach

$P_{ABC} = \frac{1}{2}\left|\det([8, 0], [6, 6])\right| = 24, \qquad P_{ACD} = \frac{1}{2}\left|\det([6, 6], [0, 4])\right| = 12.$

Trójkąt $ACD$ ma pole mniejsze niż $18$, a $ABC$ - większe. Prosta musi więc „odciąć” od trójkąta $ABC$ trójkąt $ABP$ o polu $18$, gdzie $P$ leży na boku $BC$.

Krok 3. Punkt $P$ z parametrem. $P = B + t \cdot \overrightarrow{BC} = (6 - 2t,\ -1 + 6t)$, $t \in \langle 0, 1\rangle$. Wtedy $\overrightarrow{AB} = [8, 0]$, $\overrightarrow{AP} = [8 - 2t,\ 6t]$ i

$P_{ABP} = \frac{1}{2}\left|8 \cdot 6t - 0 \cdot (8 - 2t)\right| = 24t.$

Krok 4. Równanie. $24t = 18$, czyli $t = \frac{3}{4}$, i

$P = \left(6 - \frac{3}{2},\ -1 + \frac{9}{2}\right) = \left(\frac{9}{2}, \frac{7}{2}\right).$

Punkt dzieli bok $BC$ w stosunku $|BP| : |PC| = 3 : 1$.

Krok 5. Kontrola drugiej części. Czworokąt $APCD$ wzorem Gaussa: $(-2)\cdot\frac{7}{2} - \frac{9}{2}\cdot(-1) = -\frac{5}{2}$, $\ \frac{9}{2} \cdot 5 - 4 \cdot \frac{7}{2} = \frac{17}{2}$, $\ 4 \cdot 3 - (-2) \cdot 5 = 22$, $\ (-2)(-1) - (-2) \cdot 3 = 8$. Suma $36$, pole $18$.

Krok 6. Równanie prostej $AP$. Wektor kierunkowy $\overrightarrow{AP} = \left[\frac{13}{2}, \frac{9}{2}\right] \parallel [13, 9]$, więc wektor normalny to $[9, -13]$ i prosta ma postać $9x - 13y + C = 0$. Podstawiamy $A$: $-18 + 13 + C = 0$, $C = 5$.

Odpowiedź. $9x - 13y + 5 = 0$ (prosta przechodzi przez $P = \left(\frac{9}{2}, \frac{7}{2}\right)$ na boku $BC$).