Pole czworokąta ze współrzędnych wierzchołków - wzór Gaussa (sznurowadłowy)

Szkoła średnia średnie

Oblicz pole czworokąta $ABCD$ o wierzchołkach $A = (-3, -1)$ , $B = (4, -3)$ , $C = (5, 3)$ i $D = (-1, 4)$ . Wynik sprawdź, dzieląc czworokąt przekątną na dwa trójkąty.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Kolejność wierzchołków. Wzór Gaussa wymaga wierzchołków wypisanych po kolei wzdłuż brzegu. Szkic (albo kontrola znaków wyznaczników w kolejnych wierzchołkach) pokazuje, że $A \to B \to C \to D$ obiega czworokąt przeciwnie do ruchu wskazówek zegara i boki się nie przecinają.

Krok 2. Składniki $x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i$ .

para	xᵢ · yᵢ₊₁	xᵢ₊₁ · yᵢ	różnica
A → B	(−3) · (−3) = 9	4 · (−1) = −4	13
B → C	4 · 3 = 12	5 · (−3) = −15	27
C → D	5 · 4 = 20	(−1) · 3 = −3	23
D → A	(−1) · (−1) = 1	(−3) · 4 = −12	13
suma			76

Krok 3. Pole.

$P = \frac{1}{2} \cdot |13 + 27 + 23 + 13| = \frac{76}{2} = 38.$

Krok 4. Kontrola przekątną $AC$ . $\overrightarrow{AB} = [7, -2]$ , $\overrightarrow{AC} = [8, 4]$ , $\overrightarrow{AD} = [2, 5]$ :

$P_{ABC} = \frac{1}{2}|7 \cdot 4 - (-2) \cdot 8| = \frac{44}{2} = 22, \qquad P_{ACD} = \frac{1}{2}|8 \cdot 5 - 4 \cdot 2| = \frac{32}{2} = 16.$

Razem $22 + 16 = 38$ - zgodnie ze wzorem Gaussa. (Podział przekątną $BD$ też daje $38$ .)

Odpowiedź. $P = 38$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →