Pole równoległoboku ABCD z wyznacznika - A = (−1, −2), B = (4, −1), C = (6, 3)

Krok 1. Wierzchołek $D$. W równoległoboku $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$, a $\overrightarrow{BC} = [6 - 4,\ 3 - (-1)] = [2, 4]$. Zatem

$D = A + \overrightarrow{BC} = (-1 + 2,\ -2 + 4) = (1, 2).$

Kontrola: środek $AC$ to $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right)$ i środek $BD$ to też $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right)$ - przekątne dzielą się na połowy.

Krok 2. Wektory boków z wierzchołka $A$. $\overrightarrow{AB} = [5, 1]$, $\overrightarrow{AD} = [2, 4]$.

Krok 3. Pole. Pole równoległoboku to moduł wyznacznika - bez połówki:

$P = \left|\det\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}\right)\right| = |5 \cdot 4 - 1 \cdot 2| = 18.$

Kontrola: trójkąt $ABC$ ma pole $\frac{1}{2}\left|\det([5, 1], [7, 5])\right| = \frac{1}{2}|25 - 7| = 9$, a równoległobok to dwa takie trójkąty.

Krok 4. Wysokość na bok $AB$. $|AB| = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$, więc

$h = \frac{P}{|AB|} = \frac{18}{\sqrt{26}} = \frac{9\sqrt{26}}{13}.$

Odpowiedź. $D = (1, 2)$, $P = 18$, $h = \frac{9\sqrt{26}}{13} \approx 3{,}53$.